2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第6章第3节等比数列及其前n项和

第三节　等比数列及其前n项和[最新考纲]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.(2)前n项和公式：Sn＝等比数列的常用性质1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a.2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×二、教材改编1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)A．5 B．±5C．4 D．±4C　[∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.]2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)A. B.－C. D.－C　[∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比q2＝9，又a5＝a1q4，∴a1＝＝＝.故选C.]3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB)．39　[由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒)．]考点1　等比数列的基本运算　等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．　1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)A．3　　 B．4　　　　C．5　　　　 D．6B　[因为3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以两式相减，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，即3a3＝a4－a3，得a4＝4a3，所以q＝＝4.]2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.　[设等比数列的公比为q，由已知a1＝，a＝a6，所以2＝q5，又q≠0，所以q＝3，所以S5＝＝＝.]3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________.－3或　[法一：(直接法)∵数列{an}是等比数列，∴当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝3a3＝.当q≠1时，由题意可知解得q＝－或q＝1(舍去)．∴a2＝＝×(－2)＝－3.综上可知a2＝－3或.法二：(优解法)由a3＝得a1＋a2＝3.∴＋＝3，即2q2－q－1＝0，∴q＝－或q＝1.∴a2＝＝－3或.]4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋)．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.　抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如T3，方法二避免了讨论．考点2　等比数列的判定与证明　判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列．　设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N＋)(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．(2)由(1)知bn＝×n－1＝n，∴an－an－1＝n－1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n.[逆向问题]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N＋)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．[解]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{an＋3}为等比数列：∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N＋)．　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．[教师备选例题]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是首项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2.　(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[解]　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 考点3　 等比数列性质的应用　等比数列性质的应用可以分为3类(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．　(1)[一题多解]已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)A．7　　 B．5 　　　　C．－5　　　　 D．－7(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)A．2 B．C． D．1或2(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.(1)D　(2)B　(3)2　[(1)法一：(基本量法)设数列{an}的公比为q，则由题意得所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.法二：(性质法)由解得或所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(2)设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.(3)由题意，得解得所以q＝＝＝2.]　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．[教师备选例题]数列{an}是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an＝________. 12×n－1　[设此数列{an}的公比为q，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，所以S奇＝3S偶，所以q＝＝.又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64，所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，所以an＝a1qn－1＝12×n－1.]　1.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值为(　　)A． B．1C．2 D．3C　[由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为＝的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝∈，故选C.]2．等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.9　[由题意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9.]