2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第7章第4节归纳与类比

第四节　归纳与类比[最新考纲]　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式，能运用它们进行一些简单的演绎推理．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×二、教材改编1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－1　　　 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)A．28 B．76C．123 D．199C　[由题意可知，a6＋b6＝7＋11＝18；a7＋b7＝11＋18＝29；a8＋b8＝18＋29＝47；a9＋b9＝29＋47＝76；a10＋b10＝47＋76＝123.]3．如图(1)有面积关系：＝，则由图(2)有体积关系：＝________.(1)　　　　　　(2)　[平面上的面积可类比到空间上的体积．＝＝.]4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________．b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)　[利用类比推理，借助等比数列的性质， b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．]考点1　归纳推理　与数字或式子有关的推理　(1)与数字有关的数阵(或数表)问题，要观察数字特征，数字与序号间的关系及其变化规律，一般要结合数列知识求解．(2)与式子有关的问题，要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律，归纳推理得出一般结论．　(1)(2019·皖南八校月考)将正整数依次排列如下：1     23    456   78910  1112131415 161718192021………………由表知第5行第3列的数是13，若第2 020行第2列的数是a，则a的各位数字中，数字0的个数为(　　)A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．2(2)(2019·山东省实验中学等四校联考)观察下列式子，ln 2＞，ln 3＞＋，ln 4＞＋＋，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．(1)B　(2)ln(n＋1)＞＋＋…＋　[(1)由题前n行中共有1＋2＋3＋…＋n＝个整数，故第2 019行中最后一个数：＝2 039 190，第2020行中第2列的数为：2 039 190＋2＝2 039 192，故0的个数为1，故选B.(2)根据题意，对于第一个不等式，ln 2＞，则有ln(1＋1)＞，对于第二个不等式，ln 3＞＋，则有ln(2＋1)＞＋，对于第三个不等式，ln 4＞＋＋，则有ln(3＋1)＞＋＋，依此类推：第n个不等式为：ln(n＋1)＞＋＋…＋.]　与数字或式子有关的推理主要考查数列的通项的求法，即从题设信息中发现数式变化规律，运用归纳猜想可解，重视由特殊到一般的数学思想．　1.(2019·安庆模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是(　　)A．18 B．17C．16 D．15B　[由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.]2．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N＋)的分解中最小的数是73，则m的值为________．9　[根据23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3(m∈N＋)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.]　与图形变化有关的推理　与图形变化有关的推理，其解题切入点：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，结构、数值发生了怎样的变化，探求规律．　如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2(n≥3)个图形共有________个顶点．①　　 ②　　 　③　　　 　④n2＋n　[第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……第n个图有(n＋3)(n＋2)个顶点，第n－2个图形共有n(n＋1)＝n2＋n个顶点．]　与图形变化有关的推理常借助特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．　(2019·呼和浩特模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为(　　)n＝1　　 　n＝2　　　n＝3A．81 B．121C．364 D．1 093C　[由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.]考点2　类比推理　类比推理的应用类型及解题方法类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移　(1)(2019·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x(x＞0)求得x＝.类比上述方法，则＝(　　)A．3 B.C．6 D．2(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________．(1)A　(2)－＝1　[(1)由题意结合所给的例子类比推理可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，x＝－1(舍)，即＝3，故选A.(2)若点P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.]　类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．[教师备选例题]1．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)A．S2＝S＋S＋S   B．S2＝＋＋C．S＝S1＋S2＋S3  　　 D．S＝＋＋A　[如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，则AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.]2．“求方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2变形为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，令u＝x2，v＝x＋2，则x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)转化为u3＋u＞v3＋v.设f(x)＝x3＋x，知f(x)在R上为增函数，∴由f(u)＞f(v)，得u＞v.不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化为x2＞x＋2，解得x＜－1或x＞2.∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]　在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到立体几何中，若正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.　[正方形ABCD的内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2，半径比＝，面积比为半径比的平方，＝，正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球的半径为R1，外接球的半径为R2，半径比＝，所以体积比是半径比的立方，＝.]考点3　生活中的合情推理　假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．　(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙A　[若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.]　对于逻辑推理问题，求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准，推出矛盾，进而得出结论．　(2019·东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．乙　[假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾．故答案是乙．]