2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第7章第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[最新考纲]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

(

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2．线性规划中的相关概念

二元一次不等式表示的区域

(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．

(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)

(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)

(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)

A．(0,0)　　　　　 B．(－1,1)

C．(－1,3) D．(2，－3)

C　[∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内，故选C.]

2．不等式组表示的平面区域是(　　)

A　 　　　B　 　　　C　　　　D

C　[把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]

3．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)

A．3，－3 B．2，－4

C．4，－2 D．4，－4

C　[不等式组所表示的平面区域如图所示．

其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，

画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，

平移l0过点A时，zmin＝－2.]

4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)

　[用表格列出各数据：

所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. ]

考点1　二元一次不等式(组)表示的平面区域

　(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．

①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线；

②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)．

(2)平面区域的形状问题主要有两种题型

①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．

　1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．故选C.]

2．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a≥　　　 B．0<a≤1

C．1≤a≤ D．0<a≤1或a≥

D　[作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]

3．(2019·南昌模拟)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为(　　)

A．－1 B．－

C． D．1

D　[由题意知k>0，且不等式组所表示的平面区域如图所示．

∵直线y＝kx－1与x轴的交点为，

直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为，

∴三角形的面积为××＝，

解得k＝1或k＝，经检验，k＝不符合题意，

∴k＝1.]

4．若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A． B．1

C． D．2

B　[在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图像及所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.]

　(1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如T1，T4.

(2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．

考点2　求目标函数的最值

　求线性目标函数的最值

　 截距型：形如z＝ax＋by.

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．

　(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件

则z＝3x＋2y的最大值为________．

6　[作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.

]

[母题探究]　本例条件不变，试求z＝3x－2y的范围．

[解]　z＝3x－2y变形为y＝x－z，由本例可行域知直线y＝x－z过A点时截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6.

过C点时截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6，

∴z＝3x－2y的范围为[－6,6]．

　充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．

　(2019·北京高考)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)

A．－7 B．1

C．5 D．7

C　[由题意，作出可行域如图阴影部分所示.

设z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线l0：y＝z－3x经过点C(2，－1)时，z取最大值5.故选C.]

　求非线性目标函数的最值

　非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：

(1)距离型：表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离．

(2) 斜率型：表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．

　(2019·广州模拟)若实数x，y满足则的取值范围为________．

 [2，＋∞)　[作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．

z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)

由得B(1,2)，所以kOB＝＝2，即zmin＝2，

所以z的取值范围是[2，＋∞)．]

[母题探究]

1．本例条件不变，则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为________．

[1,5]　[z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.

易知A(0,1)，所以OA2＝1，

OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范围是[1,5]．]

2．本例条件不变，则目标函数z＝的取值范围为______．

(－∞，0]　[z＝可以看作点P(1,1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率．易知点P(1,1)与A(0,1)连线的斜率最大，为0.无最小值．所以z的取值范围是(－∞，0]．]

　求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意

义及转化的等价性，如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错，是点(x，y)与(1,1)连线的斜率，易误认为点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率．

　(2019·海南五校模拟)已知实数x，y满足不等式组

则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．

13　[画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.]

　求参数值或取值范围

　由目标函数的最值求参数的2种基本方法

一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．

　(1)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A.       B.        C.4 D.

(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量x，y满足且z＝ax－y的最小值为－1，则实数a的值为________．

(1)B　(2)2　[(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，z取最大值．

由解得即A(1,1)，

zmax＝2×1＋1＝3.

当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小．

由解得则点B(a，a)．

∴zmin＝2×a＋a＝3a，

∵z的最大值是最小值的4倍，

∴3＝4×3a，即a＝.

(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a≥3，则直线z＝ax－y经过点B(1,2)时，z取得最小值，由a－2＝－1，得a＝1，与a≥3矛盾；若0<a<3，则直线z＝ax－y经过点A(2,5)时，z取得最小值，由2a－5＝－1，解得a＝2；

若a≤0，则直线z＝ax－y经过点A(2,5)或C(3,2)时，z取得最小值，此时2a－5＝－1或3a－2＝－1，解得a＝2或a＝，与a≤0矛盾，综上可知实数a的值为2.]

　(1)“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力．

(2)当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题．

　x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A．或－1 B．2或

C．2或1 D．2或－1

D　[作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝时，不成立．故选D.]

考点3　线性规划的实际应用

　解线性规划应用题的一般步骤

(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么．

(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数．

(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系．

(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．

　某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

[解]　(1)由题意知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．

图1

(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图像是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．

根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

图2

解方程组

得点M的坐标为(20,24)，

所以zmax＝2×20＋3×24＝112.

答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．

　求解线性规划应用题的3个注意点

(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．

(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．

(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．

　(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216 000　[设生产A产品x件，B产品y件，则

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]