2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第8章第3节平行关系

第三节　平行关系[最新考纲]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒a∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⇒a∥b 平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×二、教材改编1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为(　　)A．平行　B．相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内D　[依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．]2．下列命题中正确的是(　　)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥αD　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]3．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD　[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，则a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]考点1　与线、面平行相关命题的判定　判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．　1.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面B　[由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选B.]2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.]　解答此类问题时，特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，可通过举反例、否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点2　直线与平面平行的判定与性质　直线与平面平行的判定　证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．　[一题多解]如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.[证明]　法一：(线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD.由四边形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF∥平面ADE.法二：(面面平行，则线面平行) 如图，取AB的中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF∥平面ADE.　 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可．　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．(1)证明：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF；(3)若AF＝2，M为△ABC的重心，证明FM∥平面PBC.[证明]　(1)由已知四边形ABCD为菱形，又O为AC的中点，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以OE∥PB.又OE平面PAB，PB平面PAB，所以OE∥平面PAB.(2)过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.因为EG∥FD，EG平面BDF，FD平面BDF，所以EG∥平面BDF，因为底面ABCD是菱形，O是AC的中点，又因为E为PD的中点，所以G为PF的中点，因为AF＝1，PA＝3，所以F为AG的中点，所以OF∥CG.因为CG平面BDF，OF平面BDF，所以CG∥平面BDF.又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF.(3)连接AM，并延长，交BC于点Q，连接PQ，因为M为△ABC的重心，所以Q为BC中点，且＝.又AF＝2，所以＝.所以＝，所以MF∥PQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC，所以FM∥平面PBC.　直线与平面平行的性质　应用线面平行的性质定理的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO平面BMD，AP平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP平面PAHG，∴AP∥GH.　要证线线平行，可把它们转化为线面平行．即在应用性质定理时，一般遵循从“高维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行”； 而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反．[教师备选例题]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，点M在棱PB上，PD∥平面MAC，求证：M为PB的中点．[证明]　连接BD，设AC与BD的交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．　如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD, E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.[证明]　(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中点，∴BC綊 AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP.∵FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD.∵PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD.又∵AD平面PAD，OH平面PAD，∴OH∥平面PAD.又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.考点3　平面与平面平行的判定与性质　证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母题探究]1．在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.[证明]　如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]　如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，　DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D. 　本例的证明应用了三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．　如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.[证明]　(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.