2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第11章第7节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第七节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
[最新考纲]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．


1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．
(1)均值
EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．
(2)方差
DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aEX＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差

均值
方差
变量X服从两点分布
EX＝p
DX＝p(1－p)
X～B(n，p)
EX＝np
DX＝np(1－p)
4．正态分布
(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
(2)正态分布密度函数的性质：
①函数图像关于直线x＝μ对称；
②σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；
③p(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
p(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
p(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.

1．均值与方差的关系：DX＝EX2－E2X.
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(2)若X～N(μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差．(　　)
(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　)
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P


a
设Y＝2X＋3，则EY的值为(　　)
A．　　 B．4　　　　
C．－1　　 D．1
A　[由概率分布列的性质可知：＋＋a＝1，
∴a＝.
∴EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
∴EY＝3＋2EX＝3－＝.]
2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
0　[∵P(X＝c)＝1，∴EX＝c×1＝c，
∴DX＝(c－c)2×1＝0.]
3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X