2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第12章第2节参数方程

第二节　参数方程
[最新考纲]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．


1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、教材改编
1．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A．在直线y＝2x上　　　 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
B　[由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]
2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为(　　)
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
D　[将直线方程代入圆的方程，得2＋2＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，则t1＋t2＝8，＝4，故其中点坐标满足解得]
3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.
3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]

考点1　参数方程与普通方程的互化
　将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．
　1.将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)；
(3)(t为参数)．
[解]　(1)∵2＋2＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1；
当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中或
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，
∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
(3)因为x＝，
y＝＝＝4－3×＝4－3x.
又x＝＝＝2－∈[0,2)，
所以所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

[解]　圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为
(θ为参数)．

　将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
考点2　参数方程的应用
　1.应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
　(1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参
数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.
①求C和l的直角坐标方程；
②求C上的点到l距离的最小值．
(2)(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
①求α的取值范围；
②求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解]　(1)①因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
②由①可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.
(2)①⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
②l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，
且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
　(1)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．
[教师备选例题]
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
　1.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参
数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为
y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由解得或
从而C与l的交点坐标是(3,0)，.
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为.
由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为.
由题设得＝，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
考点3　极坐标、参数方程的综合应用
　处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
　(1)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ.
①求C2与C3交点的直角坐标；
②若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值．
(2)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
①写出C的普通方程；
②以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解]　(1)①曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
②曲线C1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)，
所以AB＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，AB取得最大值，最大值为4.
(2)①消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
②C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，
联立得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
　(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
[教师备选例题]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.
(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值．
[解]　(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x2＝4y.
∵M(x，y)为曲线C上任意一点，
∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1，
∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)将代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsin α－4＝0.
∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，
设方程t2cos2α－4tsin α－4＝0的两个根为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝，
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当且仅当α＝0时，取等号．
故当α＝0时，|AB|取得最小值4.
　1.(2019·郑州摸底考试)以直角坐标系的原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为.若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)试判定直线l和圆C的位置关系．
[解]　(1)直线l的参数方程
⇒ (t为参数)，
M点的直角坐标为(0,4)，圆C的半径为4，
∴圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，将代入，得圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋(ρsin θ－4)2＝16，即ρ＝8sin θ.
(2)直线l的普通方程为x－y－5－＝0，
圆心M到l的距离为d＝＝>4，
∴直线l与圆C相离．
2．(2019·衡水第三次大联考)在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数，0<α<π)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
(1)当α＝时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定·的取值范围．
[解]　(1)当α＝时，直线l的参数方程为
⇒
消去参数t得x－y＋1＋＝0.
由曲线C的极坐标方程为ρ2＝，得ρ2＋2＝4，
将x2＋y2＝ρ2，及y＝ρsin θ代入得x2＋2y2＝4，即＋＝1.
(2)由直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，可知直线l是过点P(－1,1)且倾斜角为α的直线，又由(1)知曲线C为椭圆＋＝1，所以易知点P(－1,1)在椭圆C内，
将
代入＋＝1中，整理得
t2＋2t－1＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1·t2＝－，
所以·＝＝，
因为0<α<π，
所以sin2α∈，
所以·＝＝∈，
所以·的取值范围为.