2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第11章第8节概率与统计的综合问题

第八节　概率与统计的综合问题
[最新考纲]　能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等．

考点1　离散型随机变量的均值与方差
　离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．
　(2019·广州一模)某商场以分期付款方式销售某商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
0.4
a
b
其中0＜a＜1,0＜b＜1.
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)．
①求X的分布列；
②若P(X≤500)≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．
[解]　(1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B(3,0.4)，
则P(η＝2)＝C(0.4)2×(1－0.4)＝0.288，
∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
(2)①依题意X的取值分别为400,450,500,550,600，
P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16，
P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a，
P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2，
P(X＝550)＝2ab，
P(X＝600)＝b2.
∴X的分布列为：
X
400
450
500
550
600
P
0.16
0.8a
0.8b＋a2
2ab
b2
②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝500)
＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2，
根据0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a，
∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8，
解得a≥0.4或a≤－0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，
∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6，
∴a∈[0.4,0.6)，
EX＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1 100ab＋600b2＝520－100a，
当a＝0.4时，EX的最大值为480，
∴X的数学期望EX的最大值为480.
　本例融概率、分布列、函数于一体，体现了高考命题的最新动向，求解时可先借助分布列的性质及题设条件“P(X≤500) ≥0.8”探求得到参数a的范围，然后借助数学期望公式建立关于参数a的函数关系式，并通过二次函数求得数学期望EX的最大值．
　(2019·九江二模)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．
[解]　(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝C×0·20×0·82＝0.64，
P(X＝1)＝C×0·21×0·81＝0.32，
P(X＝2)＝C×0·82×0·20＝0.04，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则
P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，
一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η＝8 000,9 000，
事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，则，
P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64，
事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则
P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36，
∴Eη＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
考点2　概率与统计的综合应用
　概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
　从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z