2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第7章第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划中的基本概念名称定义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(或等式)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.2．画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．不等式组表示的平面区域是(　　)答案　C解析　由x－y＋2≥0，得y≤x＋2，故表示直线y＝x＋2的下方(包括边界)，由x－3y＋6<0，得3y>x＋6，故表示直线x－3y＋6＝0的上方(不包括边界)，故选C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为(　　)A．(－7,24)  B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C．(－24,7)  D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案　A解析　由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7<a<24.3．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是(　　)A．－1  B．1 C．10  D．12答案　C解析　如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.4．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)A．[0,6]  B．[0,4]C．[6，＋∞)  D．[4，＋∞)答案　D解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．(2019·广州模拟)若实数x，y满足则z＝的最小值为(　　)A．3  B. C.  D.答案　D解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．z＝ 表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z的最小值为.故选D.6．(2019·北京高考)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________．答案　－3　1解析　作出x，y满足的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3. 核心考向突破考向一　二元一次不等式(组)表示平面区域　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为(　　)A．－3  B．－2 C．－1  D．0答案　C解析　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点，共9个整点，故选C. (2)不等式组表示的平面区域的面积等于________．答案　解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(1,0)，B(2,0)，由得C(4,3)．∴S△ABC＝AB·|yc|＝×1×3＝.  (1)确定Ax＋By＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式y≥kx＋b表示的区域为直线y＝kx＋b及其上方，不等式y≤kx＋b表示的区域为直线y＝kx＋b及其下方．(2)可行域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可利用x＝m逐条分段统计．  [即时训练]　1.(2019·郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．答案　解析　区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．由方程组解得A(1,0)．由方程组解得B(2,3)．所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．答案　(0,1]∪ 解析　不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由得A；由得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥.精准设计考向，多角度探究突破考向二　求目标函数的最值问题角度1　　求线性目标函数的最值例2　(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)A．2  B．3 C．5  D．6答案　C解析　画出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝－4x＋y，可得y＝4x＋z.设直线l0为y＝4x，平移直线l0，当直线y＝4x＋z过点A时z取得最大值．由得A(－1,1)，∴zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.  求z＝ax＋by的最值时，一般先化为y＝－x＋的形式.为直线y＝－x＋在y轴上的截距，当b>0时将直线上移z变大，当b<0时将直线下移z变大．  [即时训练]　3.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案　9解析　作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，作出直线y＝3x，并平移，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.角度2　　求非线性目标函数的最值例3　(2019·重庆一中模拟)已知实数x，y满足则z＝的最大值为________．答案　 解析　画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．因为z′＝表示可行域内的点P(x，y)与点A(0，－1)连线的斜率，由得直线交点为B(3,4)，所以当P在点B(3,4)时，z′＝有最大值＝，因此z＝的最大值为.  目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有： (1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离．(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．  [即时训练]　4.(2019·辽宁五校联考)已知a，b是正数，且满足2<a＋2b<4，那么a2＋b2的取值范围为________．答案　解析　以a为横轴，b为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb中作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD内部(不包括边界)．其中A(2,0)，B(0,1)，C(0,2)，D(4,0)．设P(a，b)为区域内一个动点，则|OP|＝表示点P到原点O的距离，所以z＝a2＋b2＝|OP|2.可得当P与D重合时，P到原点距离最大，此时z＝a2＋b2＝42＋0＝16；当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，P到原点距离最小，为＝，此时z＝a2＋b2＝.综上所述，可得a2＋b2的取值范围是.角度3　　求线性规划中的参数例4　(2019·河北保定一模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　　)A.  B. C．1  D.答案　A解析　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.由解得即A，又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故选A.  (1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中．(2)一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值．  [即时训练]　5.(2019·江西红色七校联考)设x，y满足约束条件若z＝mx＋y的最小值为－3，则m的值为________．答案　－解析　作出可行域如图中阴影部分所示．当m≤0时，z＝mx＋y⇒y＝－mx＋z，当直线y＝－mx＋z过点C时纵截距最小，从而z最小，由得∴C(3，－1)，∴3m－1＝－3，∴m＝－.当0≤m≤1时，直线y＝－mx＋z过点C时，z最小，由上面解法知不符合题意．当m>1时，直线y＝－mx＋z过点B时纵截距最小，从而z最小，由得∴B.由m＋＝－3得m＝－9与m>1矛盾．综上可知，m＝－.考向三　线性规划中的实际应用问题例5　(2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)A．320千元  B．360千元C．400千元  D．440千元答案　B解析　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z＝2x＋y，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360. 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．  [即时训练]　6.某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则m＋n的最小值为(　　) A规格B规格甲种卡纸21乙种卡纸13A．2  B．3 C．4  D．5答案　B解析　由题意知又不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3.故选B.