2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第3讲　二项式定理

第3讲　二项式定理基础知识整合1．二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．(2)第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr.(3)第r＋1项的二项式系数为C(r＝0,1，…，n)．2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C与C的关系是相等．(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第＋1项的二项式系数最大，最大为Cn，当n为奇数时第＋1或＋1项的二项式系数最大，最大为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝2n－1，C＋C＋C＋…＝2n－1.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2020·东莞调研测试)二项式6的展开式的常数项为(　　)A．±15   B．15  C．±20   D．－20 答案　B解析　二项式6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·r＝C·(－1)r·x6－3r.令6－3r＝0，求得r＝2，∴展开式的常数项是C＝15，故选B.2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)A．12  B．16 C．20  D．24答案　A解析　解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12.故选A.解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)A．9  B．8 C．7  D．6答案　B解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝8.4．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)A．－10  B．－5 C．5  D．10答案　B解析　(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C×1＋(－1)×C＝－5.故选B.5．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为(　　)A．500  B．－500 C．150  D．－150答案　C解析　由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r＝(－1)r·C·54－r·x4－.令4－＝3，即r＝2，此时C·52·(－1)2＝150.6．(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案　16　5解析　由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.核心考向突破考向一　求展开式中的特定项或特定项系数例1　(1)18的展开式中含x15的项的系数为(　　)A．153  B．－153 C．17  D．－17答案　C解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝rC·x18－r，令18－r＝15，解得r＝2，所以含x15的项的系数为2C＝17.(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)A.  B. C．1  D．2答案　D解析　10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为C，所以(x2－a)10的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2.故选D.(3)(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．答案　28解析　8的展开式的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，∴展开式中的常数项为T3＝C262＝28.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.(3)代回通项公式得所求．[即时训练]　1.(2019·广州调研)9的展开式中x3的系数为(　　)A．－  B．－C.   D.答案　A解析　二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝rCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为3C＝－×＝－.故选A.2．(2020·河南信阳摸底)(x2＋1)5的展开式的常数项是(　　)A．5  B．－10 C．－32  D．－42答案　D解析　由于5的展开式的通项为C·5－r·(－2)r＝C(－2)r·x，故(x2＋1)·5的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42.故选D.3．已知9的展开式中x3的系数为，则a＝________.答案　4解析　9的展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r·r＝(－1)r·a9－r·2－·C·xr－9.令r－9＝3，得r＝8，则(－1)8·a·2－4·C＝，解得a＝4.精准设计考向，多角度探究突破考向二　二项式系数与各项的系数问题角度　　二项展开式中系数的和例2　(1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)A．－1  B．1 C．27  D．－27答案　A解析　由题意，得C＋C＋…＋C＝2n＝8，即n＝3，所以3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝________，a2＋a4＋a6＝________.答案　126　2187　1092解析　令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.①又a7＝C(－2)7＝(－2)7，∴a1＋a2＋…＋a6＝－1－a0－a7＝126.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37＝2187.②，得a0＋a2＋a4＋a6＝1093，∴a2＋a4＋a6＝1092.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　赋值法的应用(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．[即时训练]　4.(2019·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)A．0  B．1 C．32  D．－1答案　A解析　由(1－x)5的展开式的通项公式Tr＋1＝(－1)rCxr，可得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.5．(2019·郑州一测)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为________．答案　90解析　令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90.角度　　二项式系数的最值问题例3　(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)A．5  B．6 C．7  D．8答案　B解析　由题意，得a＝C，b＝C，则13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验m＝6为原方程的解，故选B.(2)(2019·安徽马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)A．3  B．5 C．6  D．7答案　D解析　根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·r＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7项．故选D.求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．[即时训练]　6.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)A．212  B．211 C．210  D．29答案　D解析　因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.7．若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)A．180  B．120 C．90  D．45答案　A解析　由只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式的通项为Tr＋1＝C()10－rr＝2rC·x5－，令5－＝0，得r＝2，所以展开式中的常数项是22C＝180.故选A.角度　　项的系数的最值问题例4　(1)(2020·承德摸底)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)A.<x<   .<x<C.<x<   .<x<答案　A解析　∵∴即<x<.(2)若n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为(　　)A．210  B．10 C．462  D．252答案　A解析　∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9,10,11.设常数项为Tr＋1＝Cx3(n－r)x－2r＝Cx3n－5r，则3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N，∴n＝10，r＝6，故不含x的项为T7＝C＝210.求展开式系数最大项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．[即时训练]　8.(2020·宜昌高三测试)已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解　令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴＝2n＝32，n＝5.(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx，得∴≤k≤，∴k＝4，∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T5＝C(x)(3x2)4＝405x.考向三　二项式定理的应用例5　(1)(2019·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a＝(　　)A．0  B．1 C．11  D．12答案　D解析　由于51＝52－1，(52－1)2020＝C522020－C522019＋…－C521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为(　　)A．9,0,4  B．9,4,0 C．9,2,0  D．9,0,2答案　A解析　0.9910＝(1－0.01)10＝C×110×(－0.01)0＋C×19×(－0.01)1＋C×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[即时训练]　9.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)A．－1  B．1 C．－87  D．87答案　B解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C×889＋…＋C×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)．答案　1.172解析　1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023≈1.172.学科素养培优（二十二）二项式定理破解三项式问题1．(2020·柳州摸底)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10  B．20 C．30  D．60答案　C解析　由二项展开式通项易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－t·xt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.2.5的展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案　解析　解法一：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝(x＋)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.所以所求的常数项为＝.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为()5.②5个括号中的1个选，1个选，3个选，这样得到的常数项为CCC()3.③5个括号中的2个选，2个选，1个选，这样得到的常数项为C2C.因此展开式的常数项为()5＋CCC()3＋C2C＝.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为(　　)A．－210  B．210 C．30  D．－30答案　A解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以展开式中x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210.故选A.2.3的展开式中x2的系数是________(用数字作答)．答案　15解析　因为3＝6，所以Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，所以展开式中x2的系数是C(－1)2＝15.