2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：选修4－4第2讲参数方程

选修4－4  坐标系与参数方程第2讲　参数方程基础知识整合1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．2．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)双曲线－＝1(a>0，b>0)(φ为参数)抛物线y2＝2px(t为参数)1．参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．2．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．1．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)A．70°  B．20° C．160°  D．110°答案　B解析　∵x＝1＋tsin70°＝1＋tcos20°，y＝2＋tcos70°＝2＋tsin20°，∴直线的倾斜角为20°.2．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为(　　)A．  B．－ C．  D．－答案　D解析　∵∴y－2＝－3·，即y＝－x＋，故直线的斜率为－.3．(2019·北京高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是(　　)A．  B． C．  D．答案　D解析　由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离d＝＝.故选D.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)A．  B．2 C．  D．2答案　D解析　由题意，得直线l的普通方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线l的距离d＝，设圆C的半径为r，则弦长＝2＝2.5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．答案　3解析　由题意，知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意，知0＝3－a，所以a＝3.6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案　2解析　因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x.由消去t，得y2－x2＝4.由解得或不妨令A，B，由两点间的距离公式，得|AB|＝＝2.核心考向突破考向一　参数方程与普通方程的互化例1　(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解　(1)因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致．[即时训练]　1.(2019·海口模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C的参数方程是(α是参数)．(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解　(1)因为ρsin＝，所以ρ＝3，即ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得直线l的直角坐标方程是x＋y－3＝0.由得所以曲线C的普通方程是x2＋(y－2)2＝1.(2)由(1)，得曲线C是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0,2)到直线l的距离d＝＝，所以直线l与曲线C相交，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.考向二　直线的参数方程例2　(1)(2019·福建福州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.①求C的直角坐标方程和P的直角坐标；②设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.解　①由ρ2＝，得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入上式并整理，得曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，设点P的直角坐标为(x，y)，因为P的极坐标为，所以x＝ρcosθ＝cos＝1，y＝ρsinθ＝sin＝1，所以点P的直角坐标为(1,1)．②将代入＋y2＝1，并整理，得41t2＋110t＋25＝0，因为Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝＝.(2)(2019·兰州二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝.①若l与C相交于A，B两点，P(－2,0)，求|PA|·|PB|；②圆M的圆心在极轴上且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．解　①由ρ＝，得x2＋y2＝10，将代入x2＋y2＝10，得t2－2t－6＝0，则t1t2＝－6，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝6.②直线l的普通方程为x－y＋2＝0，设圆M的方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)．圆心(a,0)到直线l的距离为d＝，因为2＝1，所以d2＝a2－＝，解得a＝13(a＝－1<0舍去)，所以圆M的半径为13.直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝；(2)|PM|＝|t0|＝；(3)|AB|＝|t1－t2|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[即时训练]　2.(2019·成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解　(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为x－y－1＝0.曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρ，即ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋2x，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2，得2＋2＝2，化简，得t2－(1＋2)t＋3＝0.∵Δ＞0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1.3．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)设点M(2,1)，直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|·|MB|的值．解　(1)由曲线C的参数方程为(θ为参数)，得C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－6ρsinθ＋21＝0.(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得t2－(＋1)t＋1＝0，所以t1t2＝1，直线l：(t为参数)可化为所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.考向三　极坐标方程与参数方程的综合例3　(1)(2019·河北唐山一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.①求l和C的直角坐标方程；②若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α.解　①当α＝时，l：x＝1，当α≠时，l：y＝tanα(x－1)．由ρsin2θ＝4cosθ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C的直角坐标方程为y2＝4x.②将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得(sin2α)t2－(4cosα)t－4＝0，则t1＋t2＝，t1t2＝－，因为|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，所以sinα＝或－，因为0<α<π，所以sinα＝，故α＝或.(2)(2019·济南模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.①求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；②射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．解　①由得所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.由ρsin＝2，可得ρ＝2，所以ρsinθ＋ρcosθ－2＝0，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.②解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.由题意设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，可得ρ－ρ1－2＝0，所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，将θ＝代入ρsin＝2，可得ρ2＝4，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝，所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，由解得A(，1)，由解得B(2，2)，所以|AB|＝ ＝2.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．[即时训练]　4.(2019·武汉市高三第二次诊断性考试)在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin＝，l与x轴交于点M.(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值．解　(1)由2ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，得y＝x＋，∴l的直角坐标方程为y＝x＋.令y＝0，得点M的直角坐标为(－1,0)，∴点M的极坐标为(1，π)．(2)由(1)，知l的倾斜角为，参数方程为(t为参数)，代入y2＝2px，得3t2－4pt＋8p＝0，∴t1＋t2＝，t1t2＝.∵|AB|2＝|MB|·|MA|，∴(t1－t2)2＝t1t2，∴(t1＋t2)2＝5t1t2.∴2＝5×，∴p＝.5．(2019·许昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．解　(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.因为曲线C的参数方程为(α为参数，t>0)，所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，又t>0，所以0<t<，故t的取值范围为(0，)．(2)由(1)，知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，故曲线C上的点(tcosα，sinα)到l的距离d＝，故d的最大值为，由题设，得＝＋，解得t＝±.又t>0，所以t＝.　 　　　　　　　　　　　　　　.