2021版新高考数学一轮教师用书：【经典微课堂】——数学建模在高中数学中的应用



(对应学生用书第211页)
数学建模的诠释
高中对数学建模的要求
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．
[命题解读]　对函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要以解答题为主，难度中等偏上，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．
[通性通法]　解决函数实际应用问题一般可用以下几步解答：
第一步：审清题意
认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系).
第二步：建立文字数量关系式
可先用文字语言描述问题中所涉及的关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙．
第三步：转化为数学模型
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题．
第四步：解决数学问题
利用所学数学知识解决转化后的数学问题(常利用导数、基本不等式解决)，得到相应的数学结论．
第五步：返本还原
把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义．
第六步：反思回顾
查看关键点、易错点，如函数关系式的求解是否正确；定义域是否正确；导数的求解及分类是否准确等．
[分类讲解]　
　函数与导数、不等式中的数学建模
【示例1】　某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C.计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
[思路点拨]　(1)由题意得函数y＝过点(5，40)，(20，2.5)，列方程组就可解出a，b的值．(2)①求公路l长度的函数解析式f(t)，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为[5，20]；②对函数解析式f(t)，解析式根式内部分单独求导求最值，注意函数变化趋势．
[解]　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).
将其分别代入y＝，得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为(t，)，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A(，0)，B(0，).
故f(t)＝＝，t∈[5，20].
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．

【对点练1】　如图，某工厂两幢平行厂房间距为50 m，沿前后墙边均有5 m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，水池一组池壁与厂房平行．如果池底总造价为c元，平行厂房的池壁每1 m2的造价为a元，垂直厂房的池壁每1 m2的造价为b元，设该贮水池的底面平行于厂房的一边的长为x(m).
(1)求建造该长方体贮水池总造价y的函数关系，并写出函数的定义域；
(2)试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．
[解]　(1)由题意，贮水池的底面一边的长为x m，则另一边长为 m，即 m，
所以总造价y＝c＋a×2×3x＋b×2×3×，即y＝c＋6×，x∈(0，40].
(2)因为a＞0，b＞0，所以ax＋≥2·＝80.当且仅当ax＝，
即x＝40时取等号．若b≤a，则40∈(0，40]，当x＝40时，ymin＝c＋480；
若b＞a，则当x∈(0，40]时，y′＝6×＝6×＜0，
所以函数y在x∈(0，40]上单调递减，也即当x＝40时，ymin＝c＋240a＋240b.
综上可知，当b≤a时，水池设计成底面的边长为40 m，另一边长40 m，最低造价为(c＋480)元；当b＞a时，水池设计成底面边长为40 m的正方形时，最低造价为(c＋240a＋240b)元．
　三角函数中数学建模的运用
【示例2】　如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域BCDE为休闲游乐区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路(不考虑宽度).∠BCD＝∠CDE＝120°，∠BAE＝60°，DE＝3BC＝3CD＝3 km.
(1)求道路BE的长度；
(2)求道路AB，AE长度之和的最大值．
[思路点拨]　(1)连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB＝∠CBD＝30°，∠CDE＝120°，可得∠BDE＝90°，利用勾股定理即可得BE的值．
(2)设∠ABE＝α，由正弦定理，可得AB＝4sin (120°－α)，AE＝4sin α，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB＋AE＝4sin (α＋30°)，结合范围30°＜α＋30°＜150°，利用正弦函数的性质可求AB＋AE的最大值，从而得解．
[解]　(1)如图，连接BD，在△BCD中，
由余弦定理可得：
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×＝3，∴BD＝，
∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝30°，
又∵∠CDE＝120°，∴∠BDE＝90°，
∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝2.
(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝60°，
∴∠AEB＝120°－α，在△ABE中，由正弦定理，
可得＝＝，
∵＝＝4，
∴AB＝4sin(120°－α)，AE＝4sin α，
∴AB＋AE＝4sin (120°－α)＋4sin α
＝4＋4sin α
＝2cos α＋6sin α＝4sin (α＋30°)，
∵0°＜α＜120°，∴30°＜α＋30°＜150°，
∴当α＋30°＝90°，即α＝60°时，AB＋AE取得最大值4 km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4 km.
【对点练2】　如图，一块弓形薄铁片布料EMF，点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗), AD∥EF，且点A，D在弧EF上，设∠AOD＝2θ.
(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2)当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos θ的值．
[解]　(1)设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.
当0＜θ＜时(如图①)，AB＝4cos θ＋2，AD＝2×4sin θ，
S＝AB×AD＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1).
当≤θ＜时(如图②)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，
故S＝AB×AD＝64sin θcos θ＝32sin 2θ.
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
S＝

图①　　　　　　　图②
(2)当0＜θ＜时，求导，得S′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]＝16(4cos2 θ＋cos θ－2).
令S′＝0，得cos θ＝. 记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)，列表：
θ
(0，θ0)
θ0

S′
＋
0
－
S

极大值

又当≤θ＜时，S＝32sin 2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cos θ＝时，矩形铁片的面积最大．
　数列中数学建模的运用
【示例3】　某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元．
(1)分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？
(2)从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？(总支出包括维护费支出和研发投资支出)
[思路点拨]　(1)根据题意可知月收入依次成首项为40万元，公比为的等比数列，每月的维护费支出依次成首项为100万元，公差为50的等差数列．进而利用等差与等比数列的通项公式求得an和bn，代入n＝6可得结果．
(2)设经过n个月的总收入为Sn万元，总支出为Tn万元，进而根据等比数列及等差数列的求和公式分别求得Sn和Tn.进而根据Sn－Tn>0，求得n的范围．
[解]　记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，则an＝40·，bn＝100＋50 .
(1)第6个月的收入为：a6＝40·≈303.75万元，第6个月的维护费为：b6＝100＋50＝350万元，
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 .
(2)到第n个月，该产品的总收入为
Sn＝＝80·－80,
该产品的总支出为Tn＝100n＋×50＋400＝25n2＋75n＋400，
由题意知，只需Sn－Tn>0，
即－>0 ，
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝10.
∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出．
【对点练3】　科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2018年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m＞0).
(1)求A市2020年的碳排放总量(用含m的式子表示).
(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．
[解]　设2019年的碳排放总量为a1，2020年的碳排放总量为a2，…
(1)由已知，a1＝400×0.9＋m，
a2＝0.9×＋m＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m.
(2)a3＝0.9×＋m ＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m，
…
an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m＝400×0.9n＋m×＝400×0.9n＋10m
＝·0.9n＋10m.
由已知，有∀n∈N*，an≤550，
①当400－10m＝0，即m＝40时，显然满足题意；
②当400－10m>0，即m