2021版新高考数学一轮教师用书：第1章第4节　相等关系与不等关系


第四节　相等关系与不等关系
[考点要求]　1.了解现实世界及日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

(对应学生用书第8页)

1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；
(7)倒数性质：设ab>0，则a.
4．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
5．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
6．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；
若b＞a＞0，m＞0，则＞.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．ab≤≤.
4.≤≤≤(a＞0，b＞0).

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
(2)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)
(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.(　　)
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)
A．A≥B　 B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，
∴A＞B，故选B.]
2．若x2)的最小值为________．
4　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

(对应学生用书第9页)
考点1　比较大小与不等式的性质
　比较大小的5种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
(4)不等式的性质法．
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
　1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c　　 B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc D．≤
B　[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]
2．若a，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．
即x＝时，ymin＝7.]
[母题探究]　[一题两空]把本例(3)中的条件“x>”，改为“x0，则＋取最小值时，a的值为________．
－2　[∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]
　(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．＋　　　 B．＋
C．3＋2 D．＋
A　[已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．
则＋的最小值为＋.故选A.]
　消元法求最值
　对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).
　(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为(　　)
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
A　[∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5
≥5＋2＝5＋2.
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时取等号．
∴a＋2b的最小值为5＋2.故选A.]
　求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝，然后借助配凑法求最值．
　(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．3 B．
C．1 D．0
C　[由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
故最大值为1.]
　利用两次基本不等式求最值
　当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
4　[由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.]
　由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
　若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
4　[因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，
故的最小值是4.]
考点3　利用基本不等式解决实际问题
　利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
　经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解]　(1)当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9