2021版新高考数学一轮教师用书：第1章第3节　全称量词与存在量词

第三节　全称量词与存在量词[考点要求]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(对应学生用书第6页)1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃2.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(　　)(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，非p(x)的真假性相反．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√二、教材改编1．下列命题中全称命题的个数是(　　)①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[答案]　C2．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1D．∃x∈R，tan x＝2B　[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]3．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．∀x∈R，x2－ax＋1≥0　[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．[－8，0]　[当a＝0时，不等式显然成立．当a≠0时，依题意知解得－8≤a＜0.综上可知－8≤a≤0.](对应学生用书第7页)考点1　全称命题、特称命题　(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假 　全称命题、特称命题的否定　(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，≤0     D．∀x＜0，0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则¬p为(　　)A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得¬p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]　全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)，简记：改量词，否结论．　全称命题、特称命题的真假判断　(1)下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R，2x－1＞0C．∃x0∈R，lg x0＜1D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2(2)下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，＜；p2：∃x0∈(0，1)，logx0＞logx0；p3：∀x∈(0，＋∞)，＞logx；p4：∀x∈，＜logx.其中的真命题是(　　)A．p1，p3　　B．p1，p4　　C．p2，p3　　D．p2，p4(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin ，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．]　因为命题p与¬p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．　1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]2．下列命题中，真命题是(　　)A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin (α＋β)＜sin α＋sin βC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin (α＋β)＝cos α＋cos βD　[因为x2－x－1＝－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin (α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin (α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]考点2　由命题的真假确定参数的取值范围　根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q均为假命题，求实数m的取值范围．[解]　当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞).[母题探究](变问法)在本例条件下，若p和q均为真，求实数m的取值范围．[解]　当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由可得－2＜m＜0.所以实数m的取值范围为(－2，0).　根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．　已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)A．     B．C．     D．A　[当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥，故选A.]