2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第二章　第3讲　二次函数与幂函数

第3讲　二次函数与幂函数



一、知识梳理
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α0)
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1.
答案：－1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为 ；在区间 上递减．
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x－，
由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上递减．
答案：y＝x－　(0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 ．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 ．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：


　　　　　　幂函数的图象及性质(典例迁移)
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)

(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为 ．
【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝，
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0