2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第十章　第1讲　随机事件的概率

第1讲　随机事件的概率

一、知识梳理

1．事件的分类

2.概率与频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLLn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

3．事件的关系与运算

常用结论

概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

二、习题改编

1．(必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则

①恰有1个白球和全是白球；

②至少有1个白球和全是黑球；

③至少有1个白球和至少有2个白球；

④至少有1个白球和至少有1个黑球．

在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为        ．

答案：①

2．(必修3 P123A组T3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10，40)的频率为        ．

答案：0.45

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)

(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)

(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)

(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)

(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×

二、易错纠偏

(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；

(2)频率与概率的关系理解不清致错．

1．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：

经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：

(1)90分以上的概率：        ；

(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：        ．

解析：(1)＝0.07；

(2)＝0.1.

答案：(1)0.07　(2)0.1

2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为        ．

解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.

答案：0.35

　　　　　　随机事件的关系(师生共研)

从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是(　　)

A．①  B．②④ 

C．③  D．①③

【解析】　③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．

【答案】　C

判断互斥、对立事件的2种方法

(1)定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；

②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

1．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次都出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．

2．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率为的事件是(　　)

A．恰有一个红球　　　　　 B．两个小球都是白球

C．至多有一个红球  D．至少有一个红球

解析：选C.因为＝1－，所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．

　　　　　　随机事件的频率与概率(师生共研)

某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

【解】　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

所种作物的平均年收获量为

＝＝46.

(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为

P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.

　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.

(1)完成频率分布表；

近20年六月份降雨量频率分布表

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．

解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

(2)由已知可得Y＝＋425，

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)

＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)

＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)

＝＋＋＝.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.

　　　　　　互斥事件、对立事件的概率(师生共研)

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)1张奖券的中奖概率；

(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

【解】　(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，因为A，B，C两两互斥，

所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＝，

故1张奖券的中奖概率为.

(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)

＝1－＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

求复杂互斥事件的概率的两种方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)

1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为        ．

解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

答案：0.7

2．(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

[基础题组练]

1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3  B．0.4 

C．0.6  D．0.7

解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.

2．(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是(　　)

A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大

B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小

C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

解析：选D.对于选项A，“事件A，B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A，B都发生”，“事件A，B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”，当事件A，B为对立事件时，“事件A，B中至少有一个发生”的概率与“事件A，B中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B，“事件A，B同时发生”与“事件A，B中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项C错误，选项D正确．故选D.

3．设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为A，B，则下列说法正确的是(　　)

A．与互斥  B．与互斥

C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)  D．P(＋)＝1

解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误．

4．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D．

解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果．

依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，

所以P()＝1－P(B)＝1－＝.

因为表示“出现5点或6点”的事件，

因此事件A与互斥，

从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.

5．某城市2019年的空气质量状况如表所示：

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为        ．

解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p＝＋＋＝.

答案：

6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有        个．

解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.

答案：15

7．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：

贫困地区

发达地区

(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；

(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．

解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.

(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.

8．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得

P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

[综合题组练]

1．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，

x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，

所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.

P(A)＝1－P(A1)－P(A2)

＝1－－＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

2．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得统计表：

记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的维修服务次数．

(1)若n＝10，求y与x的函数解析式；

(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

解：(1)y＝

即y＝x∈N.

(2)因为“维修次数不大于10”的频率＝＝0.6<0.8，

“维修次数不大于11”的频率＝＝0.9>0.8，

所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11.

(3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

y1＝2 400×0.1＋2 450×0.2＋2 500×0.3＋3 000×0.3＋3 500×0.1＝2 730(元)；

若每台都购买11次维修服务，则有下表：

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

y2＝2 600×0.1＋2 650×0.2＋2 700×0.3＋2 750×0.3＋3 250×0.1＝2 750(元)，

因为y1<y2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．