2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换　　　　　　三角函数式的化简(师生共研) 化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝        ；(2)·＝        ．【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．(2)原式＝·＝·＝·＝.【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2)(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1．(2020·长沙模拟)化简：＝        ．解析：＝＝＝4sin α.答案：4sin α2．化简：.解：原式＝＝＝＝cos 2x.　　　　　　三角函数式的求值(多维探究)角度一　给角求值 计算＝        ．【解析】　＝＝＝＝＝2.【答案】　2角度二　给值求值 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.角度三　给值求角 (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为        ．【解析】　法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.因为α，β为锐角，所以α－β∈.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，故cos(α－β)＝＝＝.又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.所以2α－β＝.【答案】　三角函数求值的3种情况1．计算：＝(　　)A.　　　　　　　　 B．－C.  D．－解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)A．－   B.C．－  D．解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝        ，α＋β＝        ．解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos  β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.答案：　[基础题组练]1．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)A.　　　　　　　　　　　 B.C.  D．解析：选A.cos2＝＝＝，又sin 2α＝，所以原式＝＝，故选A.2.＝(　　)A.   B.C.  D．1解析：选A.＝＝＝＝.3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)A．－   B.C.  D．解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.4．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　)A．±  B．－C.  D．±解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D.5．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)A.   B.C．－  D．－解析：选C.由题意知＝sin 2θ，所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．6．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝        ．解析：法一：因为cos 2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，因为cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝        ．解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.答案：8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于        ．解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝·cos 10°＝·＝＝＝－1.答案：－19．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.10．已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值．解：(1)sin＝，即sin αcos＋cos αsin＝，化简得sin α＋cos α＝，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cos α＝－或cos α＝，因为α∈.所以cos α＝－.(2)因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.[综合题组练]1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝        ．解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.答案：2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是        ．解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.答案：3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝10(m)．故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，得sin α＝，又α∈，所以cos α＝.由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.