2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲　简单的三角恒等变换一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos  β±cos αsin  β；cos(α∓β)＝cos αcos  β±sin αsin  β；tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos  α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.3．三角函数公式的关系常用结论四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.(4)辅助角公式asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.二、习题改编1．(必修4P137A组T5改编)已知sin ＝，α∈，则sin α的值为(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D．解析：选D.因为α∈，所以α－∈，cos>0，cos＝＝，所以sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.故选D.2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝        ．解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√二、易错纠偏(1)不会用公式找不到思路；(2)不会合理配角出错．1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)A．－   B.C．－  D．解析：选C.因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin α·cos＋cos αsin＝×＋×＝－.2．sin 15°＋sin 75°的值是        ．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.答案：第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式　　　　　　三角函数公式的直接应用(师生共研) (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D．(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝        ．【解析】　(1)依题意得4sin αcos α＝2cos2α，由α∈，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.又α∈，所以sin α＝，选B.(2)法一：因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.法二：因为tan＝，所以tan α＝tan＝＝＝.【答案】　(1)B　(2)利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)A．－3  B．3C．－  D．解析：选A.因为cos＝2cos(π－α)，所以－sin α＝－2cos α，所以tan α＝2，所以tan＝＝－3，故选A.2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)A．－   B.C．－  D．解析：选A.因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为(　　)A.  B.C．－  D．解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，所以tan α＝tan(β－45°)＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝，故选D.　　　　三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研) (1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)A．－   B.C.  D．－(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝        ．【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.【答案】　(1)B　(2)－(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)A.  B．1C.  D．解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)A．－   B.C．－  D．解析：选D.cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝        ．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.答案：2　　　　两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)角度一　三角函数公式中变“角” (2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝        ．【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.【答案】　－角度二　三角函数公式中变“名” 求值：－sin 10°.【解】　原式＝－sin 10°＝－sin 10°·＝－sin 10°·＝－2cos 10°＝＝＝＝＝.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝        ，tan α＝        ．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.答案：－1　2．求4sin 20°＋tan 20°的值．解：原式＝4sin 20°＋＝＝＝＝.[基础题组练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D．解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：选C.法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C.法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C.3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)A.   B.C.  D．解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C.4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)A.  B．－C.  D．±解析：选A.因为cos＝，所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝＝cos＝×＝.故选A.5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)A．2  B．3C．4  D．5解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C.6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝        ．解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.答案：7．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cos θ＝－，则sin θ＝            ，tan＝            ．解析：由题知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cos θ＝＝－，解得x＝，所以sin θ＝＝－，tan θ＝＝，所以tan＝＝－.答案：－　－8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝        ．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－，所以sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝.答案：9．已知tan α＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解：(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－或cos β＝.[综合题组练]1．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)A.   B.C.或－  D．或解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.2．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)A．－   B.C．－  D．解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.3．已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．解：(1)f＝sin＝sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.4．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.又2α∈，所以cos 2α＝＝，所以tan 2α＝＝.(2)因为β∈，所以β－∈，又sin＝，所以cos＝，于是sin 2＝2sin·cos＝.又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，又2β∈，所以sin 2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cos α＝，sin α＝.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.