2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第7讲　解三角形应用举例

第7讲　解三角形应用举例一、知识梳理1．仰角和俯角在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．常用结论1．明确两类角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．解三角形应用题的一般步骤二、习题改编(必修5P24A组T6改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为        米．答案：50一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√二、易错纠偏(1)仰角、俯角概念不清；(2)方向角概念不清；(3)方位角概念不清．1．如图所示，在某次测量中，在A处测得同一铅垂平面内的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝        ．答案：130°2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站的南偏西40°方向上，灯塔B在观察站的南偏东60°方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向角是        ．答案：南偏西80°3．点A在点B的南偏西20°方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是        ．答案：200°　　　　　　测量距离问题(师生共研) (2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为        ．【解析】　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.【答案】　80测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．[提醒]　解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．　如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为        m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，所以P，Q两点间的距离为900 m.答案：900　　　　　　测量高度问题(师生共研) (2020·吉林长春质量监测四)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)A．1 255步　　　　　　　　 B．1 250步C．1 230步  D．1 200步【解析】　因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.【答案】　A求解高度问题应注意的3个问题(1)要理解仰角、俯角的定义；(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝        m.解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．答案：100　　　　　　测量角度问题(师生共研) 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．【解】　(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，所以AC＝2.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，所以∠CAB＝45°.解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．1．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的(　　)A．正西方向  B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向  D．南偏西45°方向解析：选C.如图：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有＝，AD＝＝24.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°.2.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东        (填角度)的方向前进．解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°方向前进．答案：30°核心素养系列12　数学建模——应用举例问题中的核心素养数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距5(3＋)海里，现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【解】　(1)由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，所以DB＝＝＝＝＝10(海里)．(2)在△DBC中，∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．即：救援船到达D点需要1小时．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．　如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)A．30°　　　　　　　　　 B．45°C．60°  D．75°解析：选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.[基础题组练]1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)A. km　　　　　　　　　 B. kmC. km  D．2 km解析：选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，所以AC＝2×＝(km)．2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5  B．15C．5  D．15解析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)A．7 km  B．8 kmC．9 km  D．6 km解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里  B．10海里C．20海里  D．20海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(－1)  m  B．180(－1) mC．120(－1) m  D．30(＋1) m解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是         n mile.解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝5(n mile)．答案：57.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝        m.解析：设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.答案：128．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为        海里/小时．解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，＝，所以MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．答案：9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB＝×15＝5(海里)，因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，所以△ABC为等腰三角形，所以BC＝5.在△BCD中，因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5，所以CD＝，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.解：根据题意，AC＝100 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)．[综合题组练]1．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)A．30 m  B．60 mC．30 m  D．40 m解析：选B.在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为        米．解析：连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.答案：503.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝，求CD的长．解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．又BD＝，∠DAB＝，所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝＝＝.(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，所以sin∠DBC＝，所以＝，所以CD＝＝.4．(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，根据余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°＝62＋102－2×6×10×＝196，所以AB＝14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.设OM＝x，ON＝y，MN＝c，在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.规范答题示范(二)三角函数、解三角形类型一　三角函数的变换与性质 (12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求❶的值；(2)求f(x)的❷[建桥寻突破]❶看到条件想到特殊角，可以利用诱导公式写出它的三角函数值．❷看到求最小正周期及单调递增区间，想到利用公式将三角函数式化成用一个角表示三角函数的形式.[规范解答](1)由sin ＝，cos＝－，1分得f＝－－2××＝2.3分(2)因为cos 2x＝cos2x－sin2x，sin 2x＝2sin xcos x，4分所以f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，7分所以f(x)的最小正周期是π，8分由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，10分解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).12分[评分标准]①分别求出的正弦和余弦值得1分；②正确完成“数学运算”得2分；③分别写出二倍角的正弦、余弦公式得1分；④能正确利用和差角公式完成“化一”过程得3分；⑤会利用周期公式求出周期得1分；⑥会借助正弦函数的单调区间写出联立不等式的形式得2分；⑦解联立不等式得出正确结果得2分．只结果错误或区间表示不规范扣1分.[解题点津](1)要善于抓解题的关键点，解题步骤中明显呈现的得分点，如本题(1)中的正弦和余弦值必须呈现出来．(2)要清晰呈现“化一”的过程以及用联立不等式求单调区间的过程.[核心素养]三角函数问题是高考必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”的核心素养.类型二　解三角形问题 (12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知❶(1)求cos B；(2)若❷△ABC的面积为2，求b.[建桥寻突破]❶看到条件sin (A＋C)＝8sin2，想到A＋C＝π－B.❷看到a＋c＝6，△ABC的面积为2，再利用(1)中cos B的结果求b，想到由cos B可求得sin B，可利用三角形面积公式求出ac，再利用余弦定理，结合a＋c＝6，求b.[规范解答](1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，2分故sin B＝4(1－cos B)，4分上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.6分故cos B＝.(2)由cos B＝得sin B＝，7分故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.9分由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.所以b＝2.12分[评分标准]①利用诱导公式将sin(A＋C)转化为sin B得2分；②会利用降幂公式将2sin2转化为1－cos B得2分；③利用平方关系转化为关于cos B的方程，并求得正确结果得2分；只运算结果错误扣1分；④求出sin B，得1分；⑤利用面积公式及已知，求出ac得2分；只运算结果错误扣1分；⑥利用余弦定理求出b得3分；只运算结果错误扣1分.[解题点津]要善于抓解题的关键点，解题步骤中明显呈现的得分点，如本题(1)中cos B与sin2关系的呈现，(2)中利用余弦定理体现a＋c与ac的关系等.[核心素养]解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力.