2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第十章　第1讲　随机事件的概率


第1讲　随机事件的概率



一、知识梳理
1．事件的分类
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLLn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
3．事件的关系与运算

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
二、教材衍化
1．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 ．
答案：①
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为 ．
答案：0.45

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×
二、易错纠偏
(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；
(2)频率与概率的关系理解不清致错．
1．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
42
80～89分
172
70～79分
240
60～69分
86
50～59分
52
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
(1)90分以上的概率： ；
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率： ．
解析：(1)＝0.07；
(2)＝0.1.
答案：(1)0.07　(2)0.1
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ．
解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案：0.35


　　　　　　随机事件的关系(师生共研)
从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】　③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
【答案】　C

判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

1．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次都出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
2．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率为的事件是(　　)
A．恰有一个红球　　　　　 B．两个小球都是白球
C．至多有一个红球 D．至少有一个红球
解析：选C.因为＝1－，所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．

　　　　　　随机事件的频率与概率(师生共研)
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；
Y
51
48
45
42
频数

4


(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.

　
　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成频率分布表；
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率






(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率






(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y530)＝P(X210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.

　　　　　　互斥事件、对立事件的概率(师生共研)
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【解】　(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1张奖券的中奖概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)
＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法

(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)


1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 ．
解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
答案：0.7
2．(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
[基础题组练]
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
2．(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是(　　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
解析：选D.对于选项A，“事件A，B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A，B都发生”，“事件A，B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”，当事件A，B为对立事件时，“事件A，B中至少有一个发生”的概率与“事件A，B中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B，“事件A，B同时发生”与“事件A，B中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项C错误，选项D正确．故选D.
3．设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为A，B，则下列说法正确的是(　　)
A．与互斥 B．与互斥
C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P(＋)＝1
解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误．
4．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝.
因为表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
5．某城市2019年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率p






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50