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    2021版高考数学苏教版一轮教师用书:10.3随机事件的概率

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    2021版高考数学苏教版一轮教师用书:10.3随机事件的概率

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    第三节 随机事件的概率[最新考纲] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1事件的相关概念2频率与概率的关系在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率fn(A)会在某个常数附近摆动,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(AB)相等事件BA,且AB,则称事件A与事件B相等 AB(和事件)若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(AB)()事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(AB)互斥事件AB为不可能事件,则称事件A与事件B互斥AB对立事件AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件ABABU(U为全集)4.概率的基本性质(1)任何事件A的概率都在[0,1]内,即0P(A)1,不可能事件的概率为0,必然事件Ω的概率为1.(2)如果事件AB互斥,则P(AB)P(A)P(B)(3)事件A与它的对立事件的概率满足P(A)P()1.如果事件A1A2An两两互斥,则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的. (  )(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (  )(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生. (  )(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.  (  )[答案](1)× (2) (3)× (4)二、教材改编1.一个人打靶时连续射击两次,事件至少有一次中靶的对立事件是(  )A.至多有一次中靶    B.两次都中靶C.只有一次中靶   D.两次都不中靶D [至少有一次中靶的对立事件是两次都不中靶”.]2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:分组[1020)[2030)[3040)[4050)[5060)[6070)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为(  )A0.35   B0.45C0.55   D0.65B [由表知[10,40)的频数为2349所以样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.]3.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,取到黑桃的概率是,取到梅花的概率是,则取到红色牌的概率是         [P1.]4.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892这一地区男婴出生的概率约是        (保留四位小数)0.517 3 [男婴出生的频率依次约是:0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常接近0.517 3,因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.]考点1 事件关系的判断 判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.(2)集合法:由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:至少有1个白球与至少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球;恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有(  )A0组         B1C2   D3B [至少有1个白球至少有1个黄球可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,中的两个事件不是互斥事件.至少有1个黄球说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.恰有1个白球恰有1个黄球,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.]2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件2张全是移动卡的概率是,那么概率是的事件是(  )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡A [ 至多有一张移动卡包含一张移动卡,一张联通卡两张全是联通卡两个事件,它是2张全是移动卡的对立事件.] 判断含有至多、至少等关键词的事件关系,可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件,然后再借助定义做出判断.考点2 随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率. (2017·全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.[](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y6×4504×450900若最高气温位于区间[20,25),则Y6×3002×(450300)4×450300若最高气温低于20,则Y6×2002×(450200)4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件,并从中提取信息,明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系.[教师备选例题](2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月AB两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中AB两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:  支付金额支付方式`    不大于2000大于2000仅使用A273仅使用B241(1)估计该校学生中上个月AB两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.[](1)由题知,样本中仅使用A的学生有27330人,仅使用B的学生有24125人,AB两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中AB两种支付方式都使用的学生有1003025540人.估计该校学生中上个月AB两种支付方式都使用的人数为×1000400.(2)记事件C从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2000,则P(C)0.04. (3)记事件E从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化. 1.我国古代数学名著《数书九章》有米谷粒分题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )A134   B169C338   D1 365B [ ×1534169()]2(2016·全国卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010(1)A为事件:一续保人本年度的保费不高于基本保费,求P(A)的估计值;(2)B为事件:一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.[](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30a×0.251.25a×0.151.5a×0.151.75a×0.102a×0.051.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.考点3 互斥事件与对立事件的概率 复杂事件的概率的2种求法(1)直接求法,将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)1P()求解(正难则反),特别是至多”“至少型题目,用间接求法就比较简便. (1)(2018·全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )A0.3   B0.4C0.6   D0.7(2)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为ABC,求:P(A)P(B)P(C)1张奖券的中奖概率;1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.(1)B [由题意知不用现金支付的概率为10.450.150.4.](2)[] P(A)P(B)P(C).故事件ABC的概率分别为.1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设1张奖券中奖这个事件为M,则MABC.ABC两两互斥,P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)1张奖券的中奖概率约为.1张奖券不中特等奖且不中一等奖为事件N,则事件N1张奖券中特等奖或中一等奖为对立事件,P(N)1P(AB)11张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.[教师备选例题]一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.[] 法一:(利用互斥事件求概率)记事件A1{任取1球为红球}A2{任取1球为黑球}A3{任取1球为白球}A4{任取1球为绿球}P(A1)P(A2)P(A3)P(A4),根据题意知,事件A1A2A3A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二:(利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1A2的对立事件为A3A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为A1A2A3的对立事件为A4,所以P(A1A2A3)1P(A4)1. 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.[] 无人排队等候为事件A1人排队等候为事件B2人排队等候为事件C3人排队等候为事件D4人排队等候为事件E5人及5人以上排队等候为事件F,则事件ABCDEF彼此互斥.(1)至多2人排队等候为事件G,则GABC所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一:(利用互斥事件求概率)至少3人排队等候为事件H,则HDEF所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二:(利用对立事件求概率)至少3人排队等候为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)1P(G)0.44.

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