2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第4讲　二次函数与幂函数


第4讲　二次函数与幂函数

[考纲解读]　1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)
2．掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向．





对应学生用书P020
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称

2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象

(3)常见的五种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，
且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
续表
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
单调性
增
在(－∞，0]
上减，在[0，
＋∞)上增
增
增
在(－∞，0)
上减，在(0，
＋∞)上减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)

1.概念辨析
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.小题热身
(1)若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是(　　)
A.0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C.0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
答案　B
解析　因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.
(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．
答案　f(x)＝x
解析　设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x.
(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．
答案　－2
解析　y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.
因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.
(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．
答案　[－3,1]
解析　因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3，1].



对应学生用书P021
题型 一　求二次函数的解析式　

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解　解法一：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数f(x)有最大值8，
∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数f(x)有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
条件探究1　将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax(x＋2)．
因为函数f(x)的最大值为8，
所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，
所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x.
条件探究2　将本例中条件变为：二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式．
解　因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为直线x＝2.
又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，所以a＝1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.

用待定系数法求二次函数的解析式
(1)关键：恰当选取二次函数解析式的形式
(2)选法
已知条件
解析式的形式
三点坐标
一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
顶点坐标
顶点式
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
对称轴
最大(小)值
与x轴两交点的坐标
两根式
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)


1.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足条件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③对任意实数x，f(x)≥－恒成立，则其解析式为f(x)＝________.
答案　x2－3x＋2
解析　由①得，对称轴方程为x＝－＝.
由②得，a＋b＋c＝0.
由③得，f(x)min＝≥－，且a>0.
解得a＝1，b＝－3，c＝2.
所以f(x)＝x2－3x＋2.

2．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC的面积S＝6，求这个二次函数的解析式．
解　设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为|OB|＝|OC|＝3|OA|，
所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|，
且4|OA|×3|OA|×＝6，得|OA|＝1，
所以A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
将三点坐标代入方程，得
解得a＝－1，b＝2，c＝3.
所以二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
题型 二　二次函数的图象与性质　

角度1　二次函数的图象

1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 其中正确的结论是(　　)
A.②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案　B
解析　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a 角度2　二次函数的单调性
2.(2019·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，a须满足
解得0 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数．
综上可知，a的取值范围是.
角度3　二次函数的最值
3.已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　)
A. B．1或
C.－1或 D．－5或
答案　D
解析　f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0 ③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)．
综上所述，a＝或－5.故选D.
角度4　与二次函数有关的恒成立问题
4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－)
B.(－，0)
C.(－∞，0)∪(，＋∞)
D.(－∞，－)∪(，＋∞)
答案　A
解析　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－).
5.当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
答案　(－∞，－5]
解析　设f(x)＝x2＋mx＋4.
因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，
所以即
解得m≤－5，
所以m的取值范围是(－∞，－5].

1.识别二次函数图象应学会“三看”

2.研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)．如举例说明2.
3.二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.
4.与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4.
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明5.
(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C
解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是(　　)
A.f()＜f＜f()
B.f＜f()＜f()
C.f()＜f()＜f
D.f()＜f()＜f
答案　D
解析　因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，
所以函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
因为＞|－1|＞|－1|，
所以f()＜f()＜f.
3.(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B．(－1,2]
C.[－1,2] D．[2,5]
答案　C
解析　∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，
由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，
∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.
4.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当x＝1时，右边取最小值，∴a<.
综上，实数a的取值范围是.
题型 三　幂函数的图象与性质

1.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C.d>c>a>b D．a>b>d>c
答案　B
解析　观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0 由图象可知2c>2d，所以c>d.
综上知a>b>c>d.
2.若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－1,2) D.
答案　D
解析　因为函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
且(2m＋1)>(m2＋m－1)，
所以解得≤m<2.
3.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)
A.奇函数 B．偶函数
C.定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
答案　A
解析　设幂函数f(x)＝xα，
∵f(x)的图象经过点，
∴α＝，∴α＝－1.
∴f(x)＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
1.求幂函数的解析式
幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．如举例说明3.
2.幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：
α取值
α>1
0<α<1
α<0
图象



特殊点
过点(0,0)，(1,1)
过点(0,0)，(1,1)
过点(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
举例说明1中，
y＝xa
举例说明1中，
y＝xb
举例说明1
中，y＝xc，
y＝xd

3.幂函数单调性的应用
(1)依据
当α＞0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α＜0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
(2)两类应用
①比较大小；
②解不等式，如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A.－3 B．1
C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
2.若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图，则 (　　)

A．m，n是奇数，且<1
B.m是偶数，n是奇数，且>1
C.m是偶数，n是奇数，且＜1
D.m是奇数，n是偶数，且>1
答案　C
解析　由图象可知，函数f(x)为偶函数，所以m是偶数，n是奇数．函数图象在第一象限部分上凸，所以＜1.
3.已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A.b C.b 答案　A
解析　因为a＝2＝4，c＝25＝5，而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以3<4<5，即b


对应学生用书P225
　组　基础关
1.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
∴解得a>.
2.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为(　　)

A.0 B．1
C.2 D．3
答案　C
解析　由图象知，m2－4m<0且m2－4m为偶数，结合四个选项可知，m＝2.
3.已知α∈，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是(　　)
A.－1,3 B.，3
C.－1，，3 D.，，3
答案　B
解析　因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈.又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈.
4.设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

答案　D
解析　由A中图象知，a<0，c<0，－<0，所以b<0，与abc>0矛盾；由B中图象知，a<0，c>0，－>0，所以b>0，与abc>0矛盾；由C中图象知，a>0，c<0，－<0，所以b>0，与abc>0矛盾；由D中图象知，a>0，c<0，－>0，所以b<0，abc>0成立.
5.(2019·吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
答案　A
解析　由点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函数．因为0＜＜＜1＜ln π，所以f＜f＜f(ln π)，即a＜c＜b.
6.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，则(　　)
A.a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0
C.a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0
答案　B
解析　因为f(1)＝f(3)，则直线x＝2为对称轴，故－＝2，则4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a＜0.
7.(2020·百色市摸底)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有(　　)
A.f(p＋1)＞0
B.f(p＋1)＜0
C.f(p＋1)＝0
D.f(p＋1)的符号不能确定
答案　A
解析　该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－.f(0)＝c＞0，即抛物线在y轴上的截距大于0.因为图象关于直线x＝－对称，所以f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根为x1，x2，令x1＜x2，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.
8.(2019·潍坊质检)已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．
答案　
解析　设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
9.已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝x2
解析　由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
10.(2019·南阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．
答案　－3或
解析　此函数图象的对称轴为直线x＝－1，当a>0时，图象开口向上，所以当x＝2时取得最大值，即f(2)＝4a＋4a＋1＝4，解得a＝；
当a<0时，图象开口向下，所以当x＝－1时取得最大值，即f(－1)＝a－2a＋1＝4，解得a＝－3.故实数a的值为－3或.
　组　能力关
1.函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B．恒小于0
C.等于0 D．无法判断
答案　A

解析　∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，∴幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴解得m＝2，则f(x)＝x2015.
∵函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
2.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有f≥，则f(x)的图象可能是(　　)

答案　C
解析　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有f≥，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.
3.已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
答案　
解析　设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.
设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.
则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，
又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；
所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，
所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，
m的最大值为b，所以有b＝5.
即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，
代入x＝5，解得k＝.
4.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞).
5.若二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(2)＝f(－2)，且方程f(x)＝0的一个根为1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈，4m2f(x)＋f(x－1)≥4－4m2恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)因为f(2)＝f(－2)且f(1)＝0，
所以所以b＝0，c＝－1，
所以f(x)＝x2－1.
(2)由题意知4m2(x2－1)＋(x－1)2－1＋4m2－4≥0在x∈上恒成立，
整理得m2≥＋－在x∈上恒成立，
令g(x)＝＋－＝2－，
因为x∈，所以∈(0,2]，
当＝2时，函数g(x)取得最大值，所以m2≥，
解得m≤－或m≥.