2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章　三角函数、解三角形第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读]　1.了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．(重点)2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1.任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝ rad，②1 rad＝°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r23．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1．概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)(4)借助三角函数线可知，若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．小题热身(1)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)  B．k·360°＋(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)答案　C解析　角度制与弧度制不能混用，排除A，B；因为＝2π＋，所以与终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C.(2)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限答案　D解析　因为sinθ<0，所以θ的终边位于x轴的下方，又因为tanθ<0，所以角θ的终边一定落在第四象限．(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．答案　3π解析　设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝3，所以此扇形的面积为×2π×3＝3π.(4)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.答案　解析　因为r＝|OP|＝＝5，所以cosθ＝，sinθ＝－，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝.题型一　象限角与终边相同的角1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)A．{α  B．{αC．{α  D．{α答案　D解析　因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为{α，故选D.2．若角α是第二象限角，则是第________象限角．答案　一或三解析　因为角α是第二象限角，所以2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z.所以是第一或第三象限角．3．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．解　(1)α1＝－350°＝－350×＝－＝－2π＋，α2＝860°＝860×＝＝4π＋，所以α1是第一象限角，α2是第二象限角．(2)β1＝＝×180°＝108°，与β1有相同终边的角为k·360°＋108°(k∈Z)，由－720°≤k·360°＋108°＜0°，解得k＝－2或k＝－1.所以在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°，－252°；β2＝－＝－×180°＝－420°＝－360°－60°.与β2有相同终边的角为k·360°－60°(k∈Z)，由－720°≤k·360°－60°＜0°，解得k＝0或k＝－1.所以在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－60°.1.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．如举例说明3中判断α1，α2是第几象限角．2.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说明2中角α的表示方法.1.已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．答案　一解析　α的终边与－α的终边关于x轴对称，－α的终边逆时针旋转180°得180°－α的终边，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案　－675°或－315°解析　与45°终边相同的角可表示为α＝k·360°＋45°(k∈Z)，当k＝－1时，α＝－360°＋45°＝－315°；当k＝－2时，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为－675°或－315°.3.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．答案　{α解析　在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为，所以所求角的集合为{α.题型二　弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)A.2  B．1  C.  D．3答案　A解析　解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.解法二：设扇形圆心角的弧度数为α，弧长为l，则l＋＝4.故l＝.又S＝lr＝＝2＝≤＝1.当且仅当α＝，即α＝2时，S取最大值.2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案　解析　如图所示，设半径为R，则＝sin1，所以R＝，弧长l＝αR＝2R＝.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．如举例说明1.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1.扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm2.答案　解析　由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝(cm)，∴S扇形＝lr＝×20×＝(cm2).2.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．答案　解析　扇形的半径为R1，圆半径为R，∵S扇形＝LR1，S圆＝πR2，R1＝R，S扇形＝S圆，∴LR1＝πR2，即L×R＝πR2，∴L＝πR，C圆＝2πR，＝＝.题型三　任意角三角函数的定义及应用　角度1　利用三角函数的定义求值1.(2020·白银摸底)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(x,3)是角θ终边上一点且cosθ＝－，则x＝(　　)A.－3  B．3 C．1  D．－1答案　D解析　cosθ＝－<0及A(x,3)是角θ终边上一点⇒x<0，由三角函数的定义，得＝－，解得x＝－1.2.在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上，在△AOC中，若cos∠AOC＝－，则点A的横坐标为(　　)A.－   B. C．－3  D．3答案　A解析　设∠AOC＝θ，则点A的坐标为(OAcosθ，OAsinθ)，由cosθ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，以及OAsinθ＝2.得到sinθ＝，OA＝3.故得到OAcosθ＝－，即点A的横坐标为－.角度2　三角函数值符号的判定3.sin2·cos3·tan4的值(　　)A.小于0  B．大于0 C．等于0  D．不存在答案　A解析　因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.角度3　三角函数线的应用4.设a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a<b<c  B．a<c<b C．b<a<c  D．b<c<a答案　C解析　如图，设∠BOC＝1，由于<1<，结合三角函数线的定义有cos1＝OC，sin1＝CB，tan1＝AD，结合几何关系可得cos1<sin1<tan1，即b<a<c.5.函数y＝的定义域为________．答案　{x解析　∵2sinx－1≥0，∴sinx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈{x.1.三角函数定义应用策略(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义推广求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义(或推广形式)列方程求参数值．如举例说明1.(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义(或推广形式)可求角α终边上某特定点的坐标．如举例说明2.2.三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦．如举例说明3.3.三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小．如举例说明4.(2)解三角不等式(方程)．如举例说明5.1.若sinθ·cosθ<0，>0，则角θ是(　　)A.第一象限角  B．第二象限角C.第三象限角  D．第四象限角答案　D解析　由>0，得>0，cosθ>0，又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角，选D.2.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sinα·tanα等于(　　)A.－  B．± C．－  D．±答案　C解析　因为点P在单位圆上，所以2＋y2＝1，解得y＝±.当y＝时，sinα＝，tanα＝－，所以sinα·tanα＝－.当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，所以sinα·tanα＝－.综上知，sinα·tanα＝－.3.在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为________．答案　解析　如图所示，找出在(0,2π)内，使sinx＝cosx的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.　组　基础关1.集合{α中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)答案　C解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时上式表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时上式表示的范围与≤α≤表示的范围一样.2.点P(cos2019°，sin2019°)所在的象限是(　　)A.第一象限  B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限答案　C解析　因为2019°＝360°×5＋219°，所以2019°与219°终边相同，是第三象限角．所以cos2019°<0，sin2019°<0，所以点P在第三象限.3.若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)A.重合  B．关于原点对称C.关于x轴对称  D．关于y轴对称答案　C解析　θ与－θ的终边关于x轴对称，α与θ终边相同，β与－θ终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称.4.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，所以圆弧长为R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为＝.6.已知α为第三象限角，则tan的值(　　)A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.不存在答案　B解析　因为α为第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z.所以是第二或第四象限角．所以tan<0.7．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是(　　)答案　C解析　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是，故选C.8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________．答案　(－2,3]解析　∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2<a≤3.9.满足cosα≤－的角α的集合为________．答案　{α解析　由三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图阴影所示)．所以α∈{α.10．分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则曲边三角形ABE的周长为________．答案　1＋解析　如图，连接BE，EC.因为两圆半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE为正三角形，圆心角∠EBC，∠ECB都是，＝×1＝，∠EBA＝－＝，＝×1＝，所以曲边三角形ABE周长是1＋＋＝1＋.　组　能力关1.设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)A.第一象限角  B．第二象限角C.第三象限角  D．第四象限角答案　B解析　因为θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z，所以为第二或第四象限角，又因为＝－cos，所以cos＜0，所以是第二象限角.2.已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(　　)A.若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβB.若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβC.若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβD.若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ答案　D解析　由三角函数线可知选D.3.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为40 m的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3，≈1.73)(　　)A.15 m2  B．16 m2 C．17 m2  D．18 m2答案　B解析　因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为×(40×20＋20×20)＝400＋200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝－400，因此两者之差为－400－(400＋200)≈16.4.顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________．答案　解析　由三角函数的定义得A(cos30°，sin30°)，B(cos60°，sin60°)，即A，B.所以|AB|＝＝＝.5.已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，则sinα＋的值是________．答案　－＋或－－解析　∵P(x，－)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x.∵x≠0，∴x＝±.∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数的定义，有sinα＝＝－，＝＝－，∴sinα＋＝－－.当x＝－时，同理可求得sinα＋＝－＋.6. 已知圆O与直线l′相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l′向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．答案　S1＝S2解析　如图所示，因为直线l′与圆O相切，所以OA⊥AP，设的长为l，所以S扇形AOQ＝·l·r＝·l·OA，S△AOP＝·OA·AP，因为l＝AP，所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，所以S1＝S2.