2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第6讲　正弦定理和余弦定理

第6讲　正弦定理和余弦定理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．

(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1.概念辨析

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　　)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.小题热身

(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)

A.   B.

C．2  D．3

答案　D

解析　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.

(2)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A.有一解  B．有两解

C.无解  D．有解但解的个数不确定

答案　C

解析　由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.

(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝75°，C＝45°，a＝3，则△ABC中最短边的长等于________．

答案　

解析　因为A＝180°－B－C＝180°－75°－45°＝60°，所以△ABC中角C最小，最短边是c，由正弦定理得c＝＝＝.

(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．

答案　4

解析　∵cosC＝，0<C<π，∴sinC＝，

∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.

(5)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.

答案　1

解析　因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.

题型 一　利用正、余弦定理解三角形　

角度1　用正弦定理解三角形

1.(2019·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝，c＝4，cosC＝，则b＝(　　)

A.3  B．3 

C.   D.

答案　B

解析　因为cosC＝，C∈(0，π)，

所以sinC＝＝.

又因为B＝，c＝4，

所以由正弦定理得b＝＝＝3.

2.(2019·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝(　　)

A.15°  B．45°

C．75°  D．105°

答案　C

解析　在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，

由正弦定理得sinB＝＝＝.

因为AB>AC，所以C>B，

所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，

所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.

角度2　用余弦定理解三角形

3.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　)

A.1  B．2

C．3  D．4

答案　A

解析　设AC＝x，由余弦定理得，cos120°＝＝－，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，选A.

4.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A.4        B.      

C.       D．2

答案　A

解析　因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4，选A.

5.(2019·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝(　　)

A.4   B. 

C.   D.

答案　B

解析　如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得

cos∠ABC＝＝＝－，

所以cos∠DAB＝－cos∠ABC＝，

在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝32＋22－2×3×2×＝10.

所以BD＝.

角度3　综合利用正、余弦定理解三角形

6.(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B－C)的值．

解　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得

b2＝32＋c2－2×3×c×.

因为b＝c＋2，

所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，

解得c＝5，所以b＝7.

(2)由cosB＝－，得sinB＝.

由正弦定理，得sinC＝sinB＝.

在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，

所以cosC＝＝.

所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.

用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法

(1)已知两角和一边(如举例说明1)

①用三角形内角和定理求第三个角．

②用正弦定理求另外两条边．

(2)已知两边及其中一边所对的角

①用正弦定理(适用于优先求角的题，如举例说明2)

以知a，b，A解三角形为例：

a.根据正弦定理，经讨论求B；

b.求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；

c.再根据正弦定理＝，求出边c.

②用余弦定理(适用于优先求边的题)

以知a，b，A解三角形为例：

列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(如举例说明3)

(3)已知两边和它们的夹角(如举例说明4)

①用余弦定理求第三边．

②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角．

(4)已知三边

可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．(如举例说明5)

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cosB＝.

2.在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝(　　)

A.－   B.

C.或－1  D．－或0

答案　A

解析　因为b＝1，c＝，A＝，

所以由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××＝1，

所以a＝1.

由a＝b＝1，得B＝A＝，

所以cos5B＝cos＝－cos＝－.

3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.

答案　

解析　在△ACD中，由余弦定理可得

cosC＝＝，

则sinC＝.

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

则AB＝＝＝.

题型 二　利用正、余弦定理边角互化　

1.(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)

A.钝角三角形  B．直角三角形

C.锐角三角形  D．等边三角形

答案　A

解析　因为<cosA，所以c<bcosA，

由正弦定理得sinC<sinBcosA，

又A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)．

所以sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，

所以sinAcosB<0，又sinA>0，

所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．

条件探究　将本例中△ABC满足的条件改为“cos2＝”，则△ABC的形状为________．

答案　直角三角形

解析　因为cos2＝，

所以(1＋cosB)＝，

在△ABC中，由余弦定理得

＋·＝.

化简得2ac＋a2＋c2－b2＝2a(a＋c)，

则c2＝a2＋b2，

所以△ABC为直角三角形.

2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求sinC.

解　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，

故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cosA＝＝.

因为0°<A<180°，所以A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，

由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，

即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.

因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，

故sinC＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.

1.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧

2.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法

(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

1.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

答案　C

解析　由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)，

则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形.

2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　)

A.6  B．5

C．4  D．3

答案　A

解析　∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.

3.(2019·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC.

(1)求角A；

(2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长．

解　(1)因为2acosA＝bcosC＋ccosB，在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，

得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

所以2sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC，

即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA，

因为0<A<π，所以sinA≠0，

所以2cosA＝1，即cosA＝，

所以A＝.

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得13＝b2＋c2－2bc·.得(b＋c)2－3bc＝13，由·＝6，得bccosA＝6，所以bc＝12.

所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.

题型 三　与三角形面积有关的问题

1.(2019·银川模拟)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，c＝，且△ABC的面积为，a＋b的值为________．

答案　5

解析　因为a＝2csinA，所以由正弦定理得sinA＝2sinCsinA，由0<A<知sinA>0，所以sinC＝，又0<C<，所以C＝，所以S△ABC＝absinC＝·ab＝，所以ab＝6.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，又c＝，

所以7＝(a＋b)2－2ab－ab，所以(a＋b)2＝25，a＋b＝5.

2.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

解　(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.

因为sinA≠0，所以sin＝sinB.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，

故cos＝sinB＝2sincos.

因为cos≠0，所以sin＝，所以＝30°，

所以B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由(1)知A＋C＝120°，

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，

所以<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.

1.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．如举例说明1.

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

2.已知三角形的面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．如举例说明1.

(2020·郑州市高三阶段考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.

(1)求AB的长；

(2)求△ABD的面积．

解　(1)在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝c2＋42－8c·①

又在△ACD中，cos∠ADC＝

＝，

在△ABD中，cos∠ADB＝

＝，

又∠ADB＋∠ADC＝π，

∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，

即－2c2＋48＝0，②

联立①②，得c＝6，即AB＝6.

(2)∵cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，

又S△ABC＝b·c·sin∠CAB＝8，

∴S△ABD＝S△ABC＝.

　组　基础关

1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b等于(　　)

A.2   B. 

C.   D.

答案　D

解析　因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosC＝.所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝.

2.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)

A.1  B．2

C．3   D.

答案　A

解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝，a＝4b，C＝60°，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.

3.在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是(　　)

A.直角三角形  B．等边三角形

C.等腰直角三角形  D．钝角三角形

答案　B

解析　由正弦定理及＝＝，得＝＝，整理，得cosA＝cosB＝cosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形.

4.(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　由正弦定理，得＝＝.又因为B＝2C，所以＝＝2cosC，故cosC＝，所以cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝.

5.在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝(　　)

A.   B. 

C.  D．2

答案　B

解析　依题意得，bcsinA＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.

6.(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝(　　)

A.10  B．8

C．7  D．4

答案　B

解析　因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，化简得c2－a2＝＝＝8.故选B.

7.(2019·泸州模拟)在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2h2＋4h2－2·h·2h·＝10h2，故AC＝h.所以cosA＝

＝＝.

8.(2019·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，－－＝，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.

答案　3

解析　由题意，得＝，根据余弦定理，得cosA＝＝－.所以sinA＝，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得＝6，所以a＝3.

9.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.

答案　

解析　∵bsinA＋acosB＝0，∴＝.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.

又B∈(0，π)，∴B＝.

10.在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________.

答案　9

解析　如图所示，延长AD到点E，

使DE＝AD，连接BE，EC.

因为AD是BC边上的中线，

所以AE与BC互相平分，

所以四边形ACEB是平行四边形，

所以BE＝AC＝7.

又AB＝4，AE＝2AD＝7，

所以在△ABE中，由余弦定理得，

AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE.

在△ABC中，由余弦定理得，

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)．

所以49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2×(16＋49)，

所以BC2＝81，所以BC＝9.

　组　能力关

1.(2019·太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案　A

解析　利用正弦定理及二倍角公式得＝，即sinA＝sinCcosB.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝0.在△ABC中，sinB≠0，故cosC＝0，则C＝，故△ABC为直角三角形，故选A.

2.(2019·江西省九江市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，且△ABC的面积为，则a的值为________．

答案　2

解析　△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，

∴b2＋c2－a2＝bc，

由余弦定理，得cosA＝＝，

又A∈(0，π)，∴A＝.由正弦定理＝＝，

∴＝，即＝，

化简得a2＝3bc.

又△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4，

∴a2＝12，解得a＝2.

3.(2020·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．

答案　

解析　由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得

cosA＝＝＝

≥＝，当且仅当c＝a时取等号，

∵A为三角形的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴0<A≤，则角A的取值范围是.

4.(2020·安徽五校联考)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________.若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．

答案　　

解析　设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，

∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，

∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.

5．(2019·衡水中学模拟)如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，∠APC＝60°，AB＝2，AP＋PB＝4.

(1)求BP的长；

(2)若AC＝，求cos∠ACP的值．

解　(1)由已知，得∠APB＝120°，又AB＝2，AP＋BP＝4.在△ABP中，由余弦定理，得(2)2＝BP2＋(4－BP)2－2×BP×(4－BP)cos120°，整理，得BP2－4BP＋4＝0.解得BP＝2.

(2)由(1)知，AP＝2，所以在△ACP中，由正弦定理，

得＝，

解得sin∠ACP＝2×＝.因为2<，

所以AP<AC，从而∠ACP<∠APC，即∠ACP是锐角．

所以cos∠ACP＝＝.

6．(2019·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.

(1)若△CDE的面积为，求DE的长；

(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.

解　(1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.

因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，

所以×2CE×＝，解得CE＝1.

在△CDE中，由余弦定理，得

DE＝

＝＝.

(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，

设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.

在△CDF中，由正弦定理，得＝，

因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，

所以cosθ＝，

所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝×＋×＝.

解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，

设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，

设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，

在△CDF中，由余弦定理，得

DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，

即7x2＝4＋16x2－8x，解得x＝或x＝.

又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，

所以DF＝，

在△CDF中，由正弦定理，得＝，

所以sin∠DFC＝＝.