2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第7讲　解三角形应用举例

第7讲　解三角形应用举例

1.仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

3.方向角

相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4.坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

1.概念辨析

(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)

(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.小题热身

(1)在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(　　)

A.北偏西34°27′  B．北偏东55°33′

C.北偏西55°33′  D．南偏西34°27′

答案　A

解析　由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′.

(2)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)

A.10 km  B．10 km

C.10 km  D．10 km

答案　D

解析　由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700.

∴AC＝10(km).

(3)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m．

答案　50

解析　在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，又因为AC＝50 m，所以由正弦定理得AB＝＝＝50(m).

(4)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时无人机的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

答案　60

解析　由图可知，AB＝，在△ABC中，由正弦定理可知＝，所以BC＝＝≈＝60(m).

题型 一　测量距离问题

1.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)

A.15 km  B．30 km

C．45 km  D．60 km

答案　B

解析　作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，

∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.

在△AMB中，由正弦定理，得＝，

解得BM＝30.

2.(2019·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．

答案　80

解析　由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得

AC＝＝＝40(＋)，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

所以∠DBC＝30°，

由正弦定理＝，得

BC＝＝＝160sin15°＝40(－)；

在△ABC中，由余弦定理，

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝32000，

解得AB＝80，则A，B两点的距离为80.

(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．

(2)求距离问题的两个策略

①选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cosα＝，则B，C之间的距离是(　　)

A.30千米  B．30千米

C.12千米  D．12千米

答案　D

解析　由题意，得AC＝2，

sinA＝sin＝cosα＝，

sinB＝sin＝cos2α＝2cos2α－1＝，

在△ABC中，由正弦定理得

BC＝＝＝12，

则B与C的距离是12千米.

题型 二　测量高度问题

1．(2019·长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB高为10 m，灯杆AB长为1 m，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是________ m．

答案　

解析　在△AOB中，由余弦定理可得OA＝ m，

由正弦定理得sin∠BAO＝，

因为∠BAO＋θ＝，

所以cosθ＝sin∠BAO＝，sinθ＝，

则sin2θ＝2sinθcosθ＝.

易知∠ACO＝60°，则sin∠AEO＝sin(60°－θ)＝，

在△AOE中，由正弦定理可得OE＝＝ m.

2．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s(精确到0.1)．

参考数据：≈1.414，≈2.236.

答案　22.6

解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.

设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.

在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.

在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

求解高度问题的注意事项

(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．如举例说明2.

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

1．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为(　　)

A.700 m  B．640 m

C．600 m  D．560 m

答案　C

解析　在Rt△AMD中，AM＝＝＝400(m)，在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝＝＝400(m)．在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m).

2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m．

答案　150

解析　在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，＝，解得MA＝100，在△MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150 m.

题型 三　测量角度问题

1.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的大小为________．

答案　15°

解析　在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10，

∠ADC＝180°－4θ，

由正弦定理得＝，

所以＝，cos2θ＝，

所以2θ＝30°，θ＝15°.

2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

解　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处拦截住蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

根据余弦定理得

(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，

解得x＝2.

故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理得＝，

解得sinα＝＝.

所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.

解决测量角度问题的注意事项

(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．

(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．

(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.

　组　基础关

1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A．①②  B．②③

C．①③  D．①②③

答案　D

解析　知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定A，B间的距离．

2．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　)

A．30 m  B．60 m

C．30 m  D．40 m

答案　B

解析　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.

3．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．75°

答案　B

解析　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

4．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为(　　)

A. n mile/min   B. n mile/min

C．3 n mile/min  D．10 n mile/min

答案　A

解析　由已知得∠ACB＝45°，B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．

5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A．5  B．15

C．5  D．15

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.

6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________ h后，两车的距离最小．

答案　

解析　如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.

因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.

当t＝时DE最小．

　组　能力关

1．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为(　　)

A.  B．2

C．3  D．2

答案　C

解析　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，

在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，则有＝，变形可得BC＝＝＝，在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3.

2．(2019·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.

答案　－1

解析　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得

∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.

在△ABD中，根据正弦定理可得

＝，即＝，

所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)

＝25(－)．

在△BCD中，由正弦定理得＝，

即＝，解得sin∠BCD＝－1.

所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.

3．(2019·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________ m.

答案　80

解析　设塔高为h m，依题意得，tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tanγ＝tan(90°－γ)tanγ＝＝＝1，所以·tanγ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.

4．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．

解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，

∴PM＝100.

连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，

∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.

在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.

在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，

∴NQ＝100，BQ＝100，cosθ＝.

在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100)2，

∴BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.