2021届山东高考数学一轮创新教学案：第7章第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲　空间几何体的表面积与体积[考纲解读]　1.掌握与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体积．(重点)2．会用相关计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容．预测2021年会一如既往地对本讲内容进行考查，命题方式为：①根据三视图，求几何体的表面积或体积；②涉及与球有关的几何体的外接与内切问题．题型以客观题为主，且试题难度不会太大，属中档题型．1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR31.概念辨析(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　)(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.小题热身(1)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)A.   B.C.16π  D．24π答案　B解析　设此球的半径为R，则4πR2＝16π，所以R＝2，其体积V＝πR3＝π×23＝.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.(9＋)π  B．(9＋2)πC.(10＋)π  D．(10＋2)π答案　A解析　由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋π×＝(9＋)π.(3)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案　解析　易知，此多面体是由两个四棱锥拼接而成，其体积V＝2××()2×1＝.(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为________．答案　28解析　由已知得此棱台的体积V＝×(6＋24＋  )×2＝×42×2＝28.题型 一　空间几何体的表面积1.(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A.12π  B．12πC.8π  D．10π答案　B解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S＝2π()2＋2π××2＝12π.故选B.2．(2019·安徽省江南十校联考)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为(　　)A.20  B．20＋C.20＋  D．20＋答案　B解析　由三视图可得该几何体的直观图如图．由已知得该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一的圆柱及一个八分之－的球体得到的，所以该几何体的表面积S＝6×22－2×1×2－5×＋×2π×2＋×4π＝20＋.故选B.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)A.2＋  B．4＋C.2＋2  D．5答案　C解析　根据三视图画出该空间几何体的立体图如图：S△ABC＝×2×2＝2；S△ABD＝××1＝；S△CBD＝××1＝；S△ACD＝×2×＝，所以S表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD＝2＋＋＋＝2＋2.故选C.三类几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.   B.C.13   D.答案　C解析　由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2.∴棱台的上底面积为×1×1＝，下底面积为×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为×(1＋2)×2＝3，过A作AD⊥A′C′于点D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝，∴梯形ABB′A′的面积为×(＋2)×＝，∴几何体的表面积S＝S上底＋S下底＋S梯形ACC′A′＋S梯形BCC′B′＋S梯形ABB′A′＝＋2＋3＋3＋＝13.题型 二　空间几何体的体积　角度1　根据几何体的三视图计算体积1.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”，陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为(　　)A.   B.＋33πC.32＋99π   D.＋33π答案　B解析　依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积V＝×4×4×2＋π×32×3＋×π×32×2＝＋33π，故选B.角度2　根据几何体的直观图计算体积2.(2019·全国卷Ⅲ) 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．答案　118.8解析　由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换1.(2019·湖南省长沙一中、常德一中等六校联考)如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于(　　)A.1  B．2 C．3  D．4答案　D解析　该几何体的示意图为如图所示的四棱锥P－ABCD，故其体积V＝××(2＋4)×2x＝8，解得x＝4.故选D.2.祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b，高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立，据此，短轴长为4 cm，长轴长为6 cm的椭球体的体积是________cm3.答案　16π解析　因为总有S圆＝S环，所以半椭球体的体积为V圆柱－V圆锥＝πb2a－πb2a＝πb2a.又2a＝6,2b＝4，即a＝3，b＝2，所以椭球体的体积V＝πb2a＝×22×3＝16π(cm3).题型 三　几何体与球的切、接问题　1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)A.  B．2  C.  D．3答案　C解析　解法一：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝×＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝＝13.故R＝.2.(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)A.12  B．18 C．24  D．54答案　B解析　如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝AB2＝9，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝BE＝2，∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱锥D－ABC)max＝×9×6＝18.故选B.条件探究　将本例中的三棱锥D－ABC满足的条件改为“AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°”，则球O的体积为________.答案　解析　设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，∴××3××h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为.1.解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2.三条侧棱互相垂直的三棱锥或直三棱柱的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R.(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥或直三棱柱的外接球的球心．如举例说明1解法二.1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为(　　)A.   B. C．2  D．2答案　B解析　如图所示，该几何体为三棱锥P－ABC，其中B，C为长方体的顶点，P，A，O1，O2为长方体棱的中点，因为△ABC是直角三角形，所以该几何体外接球的球心在O1O2上，记作点O，由OP＝OA＝OB＝OC易知O为O1O2的中点，所以此球的半径r＝|OB|＝＝.2.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案　解析　设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×3＝.　组　基础关1.(2020·太原摸底)如图为一几何体的三视图，其表面积为(　　)A.4π＋4  B．5π＋4 C．6π  D．7π答案　A解析　由三视图知，该几何体由一个半圆柱和四分之一个球构成，半圆柱的底面半径为1，高为2，球的半径为1，所以该几何体的表面积S＝2××π×12＋×4π×12＋×2π×1×2＋2×2＝4π＋4，故选A.2.(2020·北京西城区模拟)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为(　　)A.34000 mm3  B．33000 mm3C.32000 mm3  D．30000 mm3答案　C解析　由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100 mm，宽为20 mm，高为20 mm的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40 mm，宽为20 mm，高为10 mm的小长方体的一个几何体，如图，所以该零件的体积V＝100×20×20－40×20×10＝32000(mm3).3.一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为(　　)A.   B.  C.  D．2答案　B解析　设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为π，∴πr(r＋3r)＝π，解得r＝，母线长l＝，故圆锥的高h＝＝.4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(　　)A.9   B. C．18  D．27答案　A解析　根据三视图可知，几何体是一个三棱锥A－BCD，三棱锥的外面是长、宽、高分别为6,3,3的长方体，∴几何体的体积V＝××6×3×3＝9.5.(2019·安徽省六校教育研究会联考)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A.  B．9π  C.   D.答案　C解析　由三视图可知该几何体是一个底面半径为r，高为r的圆柱内挖去一个半径为r的半球．因为该几何体的体积为，所以πr2·r－·πr3＝，即πr3＝，解得r＝.所以该几何体的表面积为πr2＋2πr·r＋×4πr2＝5πr2＝5π×＝.故选C.6.(2019·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为(　　)A．6＋4＋2  B．8＋4C.6＋6  D．6＋2＋4答案　A解析　直观图是四棱锥P－ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin60°＝2，S四边形ABCD＝2×2＝4，因此所求棱锥的表面积为6＋4＋2.故选A.7．(2019·衡水中学三调)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为(　　)A.＋  B．3＋或＋C.2＋   D.＋或2＋答案　B解析　设正方体的棱长为a，依题意得，×＝，解得a＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为＋，图2对应的几何体的表面积为3＋.故选B.8．(2020·驻马店摸底)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则的值为________．答案　解析　因为O为BD1的中点，所以VO－ABD＝VA－OBD＝VA－ODD1，又因为四边形ADD1A1是平行四边形，所以VA－ODD1＝VO－ADD1＝VO－ADD1A1，所以VO－ABD＝VO－ADD1A1，即V1＝V2，所以＝.9.我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，且该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．答案　解析　根据题意，三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，如图所示，可得∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝∠PBC＝90°.易知PC为外接球的直径，设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则R2＝＝6，则BC＝ ＝4，则该鳖臑的体积为××2×4×2＝.10.(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．答案　3　解析　该三棱锥侧面的斜高为 ＝，则S侧＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱锥的表面积S表＝2＋＝3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.　组　能力关1.(2019·湘赣十四校联考)几何体甲与几何体乙的三视图如图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等．若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲与乙的表面积之比为(　　)A.＋1   B.  C.－1   D.答案　D解析　由三视图可知甲为圆锥，乙为球．设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝2R，母线长l＝.∵甲与乙的体积相等，∴πR3＝πr2h，即2R2＝r2，则l＝＝r，∴几何体甲与乙的表面积之比＝＝＝.故选D.2.(2019·江西重点中学协作体模拟)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)A.28＋4  B．28＋8C.16＋4＋8  D．16＋8＋4答案　A解析　由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A－BCD.将该三棱锥放置在棱长为4的正方体中，其中A是所在棱的中点．在△ADC中，AC＝2，又CD⊥AC，∴AD＝＝＝6，S△ADC＝AC·DC＝×2×4＝4.在△ABD中，AB＝2，BD＝4，由余弦定理得cos∠DAB＝＝＝.∴sin∠DAB＝＝.∴S△ABD＝AD·AB·sin∠DAB＝×6×2×＝12.又S△ABC与S△BDC均为8，∴三棱锥A－BCD的表面积为12＋8×2＋4＝28＋4.故选A.3.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)A.8π  B．4π C．2π   D.π答案　D解析　设PA＝PB＝PC＝2a，则EF＝a，FC＝，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝.在△AEC中，cos∠AEC＝.∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，∴a＝，故PA＝PB＝PC＝.又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直径2R＝ ＝，∴R＝，∴V＝πR3＝π×3＝π.故选D.4.(2019·河北省五校联考)如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面如图所示．由题意，知∠OAB＝30°，OB＝1，则OA＝2.∴AC＝1.∵AD＝2，∴AN＝AD·cos30°＝.∴CN＝AN－AC＝ －1.∴小球滚动形成的圆柱的高h＝10＋－1－2＝7＋.∴小球滚动形成的几何体的体积V＝π×12×(7＋)＋π×13＝，∵V容器＝π×12×10＋×π×12×＝，∴V空＝V容器－V＝.故选C.5.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．答案　40π解析　因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，因为△SAB的面积为5，设母线长为l，所以×l2×＝5，所以l2＝80，因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆的半径为lcos＝l，因此，圆锥的侧面积为πrl＝πl2＝40π.6．如图所示，等腰三角形ABC的底边AB＝6，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积，求V(x)的最大值．解　因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，所以PE⊥平面ABC.因为CD⊥AB，FE⊥AB，所以EF∥CD，所以＝，即＝，所以EF＝，所以S△ABC＝×6×3＝9，S△BEF＝·x·＝x2，所以V(x)＝x＝x(0<x<3)．因为V′(x)＝，所以当x∈(0,6)时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当6<x<3时，V′(x)<0，V(x)单调递减，因此当x＝6时，V(x)取得最大值12.