2021届山东高考数学一轮创新教学案：第8章　第1讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第八章　平面解析几何

第1讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

1.直线的斜率

(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．

(2)斜率公式

给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.

2．直线方程的五种形式

1．概念辨析

(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(　　)

(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)

(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)直线l经过原点和点(－1，－1)，则直线l的倾斜角是(　　)

A．45°  B．135°

C．135°或225°  D．60°

答案　A

解析　由已知，得直线l的斜率k＝＝1，所以直线l的倾斜角是45°.

(2)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.

(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－14＝0  B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0  D．4x－3y＋14＝0

答案　A

解析　由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.

(4)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　　)

A．3x＋y－6＝0  B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0  D．x－3y＋8＝0

答案　A

解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．

由题意，得解得a＝2，b＝6.故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.故选A.

题型 一　直线的倾斜角与斜率

1．(2019·长春模拟)设直线y＝2x的倾斜角为α，则cos2α的值为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－

答案　C

解析　由题意，知tanα＝2，所以cos2α＝＝＝＝－.

2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)

A．1±或0   B.或0

C.   D.或0

答案　A

解析　若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即＝，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.

3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)

解析　如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

1.直线的倾斜角与其斜率的关系

2.倾斜角变化时斜率的变化规律

根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：

(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；

(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.

3.三点共线问题

若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.

1.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.0，   B.，π

C.0，∪，π   D.，∪，π

答案　B

解析　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是，π.

2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A.  B．－

C．－   D.

答案　B

解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有

解得

从而可知直线l的斜率为＝－.

题型 二　直线方程的求法　

1.已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的中线所在的直线方程为________．

答案　x＋13y＋5＝0

解析　BC的中点坐标为，∴BC边上的中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

2.(1)求过点A(1,3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．

解　(1)设所求直线的斜率为k，

依题意k＝－4×＝－.

又直线经过点A(1,3)，

因此所求的直线方程为y－3＝－(x－1)，

即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

条件探究　将本例(1)中所求的直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，求所得直线的方程．

解　设本例(1)中所求直线的倾斜角为α，

则由本例(1)知tanα＝－，

所以90°<α<180°，

此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，所得直线的倾斜角为α－45°，

斜率k′＝tan(α－45°)＝＝＝7，

点斜式方程为y－3＝7(x－1)，

整理得7x－y－4＝0.

给定条件求直线方程的思路

(1)求直线方程常用的两种方法

①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．

②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．

(2)设直线方程的常用技巧

①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.

②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.

③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．

1.在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)

A.y－1＝3(x－3)  B．y－1＝－3(x－3)

C.y－3＝3(x－1)  D．y－3＝－3(x－1)

答案　D

解析　因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.

2.求适合下列条件的直线方程：

(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；

(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.

解　(1)当直线过原点时，方程为y＝x，

即3x－2y＝0.

当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.

将P(2,3)代入方程，得a＝－1，

所以直线l的方程为x－y＋1＝0.

综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.

(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，

则所求直线的倾斜角为2α.

因为tanα＝3，

所以tan2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求的直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为

＋＝1，

又直线过点(－3,4)，

从而－＋＝1，

解得a＝－4或a＝9.

故所求的直线方程为

4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

题型 三　直线方程的综合应用　

角度1　由直线方程求参数问题

1.若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A.[－2,2]  B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C.[－2,0)∪(0,2]  D．(－∞，＋∞)

答案　C

解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2].

角度2　与直线方程有关的最值问题

2.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

解　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令解得

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．

(3)由题意，知k≠0，再由直线l的方程，得

A，B(0,1＋2k)．

依题意得解得k＞0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝

≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.

1.若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(　　)

A.m≠－  B．m≠0

C.m≠0且m≠1  D．m≠1

答案　D

解析　由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线.

2.(2019·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．

解　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，

直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.

||·||＝－·

＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)

＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)＋－5＝＋≥4，

当且仅当a＝b＝3时取等号，

此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

　组　基础关

1.过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A.1  B．4

C．1或3  D．1或4

答案　A

解析　由题意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.

2.(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A.y＝x＋2  B．y＝x－2

C.y＝x＋  D．y＝－x＋2

答案　A

解析　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.

3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k3<k2<k1

D.k1<k3<k2

答案　D

解析　设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0<α3<α2<<α1<π，所以k1<0<k3<k2.

4.(2019·沈阳模拟)若直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)

A.ab>0，bc<0  B．ab>0，bc>0

C.ab<0，bc>0  D．ab<0，bc<0

答案　A

解析　由题意，知a≠0，b≠0，已知直线方程可化为y＝－x－，若此直线同时经过第一、二、四象限，则即ab>0，bc<0.

5.直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是(　　)

A.40°  B．50°

C．130°  D．140°

答案　B

解析　将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k＝＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.

6.(2019·荆州模拟)两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　已知两直线的方程可分别化为l1：＋＝1与l2：＋＝1，所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B符合题意.

7.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A.－1<k<  B．k>1或k<

C.k>1或k<  D．k>或k<－1

答案　D

解析　因为直线l过点A(1，2)，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，所以直线端点的斜率分别为＝－1，＝，如图．所以k>或k<－1.所以D正确.

8.若直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.

答案　4

解析　由在x轴上的截距是1，得m≠3，则直线方程为＝.当y＝0时，则x＝6－2m＋3＝1，故m＝4.

9.若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tanα＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋3)<0，故－3<a<1.关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－＝，所以3×2－4×≤m<3×(－3)2－4×(－3)，所以实数m的取值范围是－，39.

10.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．

答案　4x－3y－4＝0

解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，

因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.

　组　能力关

1.若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　令x＝0，得y＝sinα<0，令y＝0，得x＝cosα>0，所以直线过点(0，sinα)，(cosα，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.

2.已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)

A.4   B.

C．－4  D．－14

答案　A

解析　∵{an}为等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11，∴kPQ＝＝4.

3.(2019·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，，则点P横坐标的取值范围为(　　)

A.－1，－  B．[－1,0]

C.[0,1]   D.，1

答案　A

解析　由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.故选A.

4.函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为.故选D.

5.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

答案　5

解析　动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤＝＝＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.

6.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

答案　

解析　由已知画出简图，如图所示．

因为l1：ax－2y＝2a－4，

所以当x＝0时，y＝2－a，即直线l1与y轴交于点A(0,2－a)．

因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，

所以当y＝0时，x＝a2＋2，

即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．

易知l1与l2均过定点(2,2)，

即两直线相交于点B(2,2)．

则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋(a2＋2)×2＝2＋≥.

所以Smin＝，此时a＝.

7．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当线段AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解　由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以线段AB的中点C的坐标为，由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，

所以A(，)．因为P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.