2021届山东高考数学一轮创新教学案：第10章　第2讲　古典概型

第2讲　古典概型

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.

4.古典概型的概率公式

P(A)＝.

1.概念辨析

(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．(　　)

(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)

(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)

(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.小题热身

(1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是7的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　记抛掷两枚骰子向上的点数分别为a，b，则可得到数组(a，b )共有36组，其中满足a＋b＝7的共有6组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率为P＝＝.

(2)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种等可能发生的结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝＝.

(3)某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　记3名男教师为a，b，c,2名女教师为A，B，任选2人有以下情况ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共10种等可能发生的情况，选取的2人恰为一男一女有6种，故所求概率P＝＝.

(4)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　记两本数学书为1,2，一本语文书为a，则所有排列方法有12a,1a2,21a,2a1，a12，a21，共6种等可能发生的结果，其中两本数学书相邻的排列方法为12a,21a，a12，a21，共4种，根据古典概型的概率公式知，所求概率P＝＝.

题型 一　古典概型的简单问题　

1.(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种等可能发生的情况．其中恰有2只测量过该指标的可能情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.

2．(2019·厦门模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　由题意，知八卦中有三卦是两根阳线，一根阴线，记它们为1,2,3；有三卦是一根阳线，两根阴线，记它们为a，b，c；有一卦是三根阳线，记作A；有一卦是三根阴线，记作B.从八卦中任取两卦，有以下可能出现的结果12,13,1a,1b,1c,1A,1B,23,2a,2b,2c,2A,2B,3a,3b,3c,3A,3B，ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共28种等可能的结果，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包括1a,1b,1c,2a,2b,2c,3a,3b,3c，AB，共10种情况，故所求概率为＝.

3.(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，这25种基本事件发生的可能性是相等的．第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.故选D.

条件探究　将本例中的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．

答案　

解析　画出树状图如图：

所有的基本事件共有20个，这20个基本事件发生的可能性是相等的．满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.

结论探究　本例中的条件不变，则抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上的数的和为偶数的概率为________．

答案　

解析　所有基本事件共有25个，这25个基本事件发生的可能性是相等的．满足条件的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共13个．故所求概率P＝.

1.求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．

2.基本事件个数的确定方法

1.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.

2.(2019·湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　所有的情况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、乙都送给丙)(甲、乙都送给丁)共四种，这4种情况发生的可能性是相等的．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给丁的概率是.

题型 二　古典概型的交汇问题　

角度1　古典概型与平面向量相结合

1.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．

(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；

(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．

解　由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有36种．

(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为＝.

(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为＝.

角度2　古典概型与函数、方程相结合

2.(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　C

解析　投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为∴a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.

当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.

故满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝，故选C.

3.(2019·辽宁省实验中学模拟)设a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，则函数f(x)＝logx是增函数的概率为________．

答案　

解析　由已知条件，得的所有取值种数为12.当>1时，f(x)为增函数，符合此条件的有，，，，，，共6种，所以函数f(x)＝logx是增函数的概率为＝.

角度3　古典概型与几何问题结合

4.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

答案　

解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种等可能的结果，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，当a＝4时，有3种，当a＝5时，有2种，当a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于＝.

角度4　古典概型与统计相结合

5.(2019· 绵阳模拟)目前有声书正受到越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如下图．

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”．

(1)完成下面的2×2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？

(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．

K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)根据题意可得2×2列联表如下：

由表中数据可得

K2＝＝≈4.76>3.841，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．

(2)由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为A1，A2，A3，A4,1人为“非年轻用户”，记为B.

则从这5人中随机抽取2人的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B)，(A3，A4)，(A3，B)，(A4，B)，共10个等可能发生的基本事件．

其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，共6个．所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P＝＝.

1.求解古典概型的交汇问题的步骤

(1)根据相关知识构建事件满足的条件．

(2)根据条件列举所有符合的基本事件．

(3)利用古典概型的概率计算公式求概率.

2.破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”

1.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　易知所有基本事件有36个，若m∥n，则＝，即b＝2a.所以m与n共线包含的基本事件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，所以m与n不共线的概率为1－＝.

2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.

3.在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．

答案　

解析　点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种等可能的情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.

4.(2019·武威模拟)某市第三中学统计了高三年级学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；

(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均数及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

(3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．

解　(1)甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128.乙成绩的频率分布直方图如下图所示．

(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均数比甲的成绩的平均数高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．

(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个，设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e.

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种等可能的结果，其中这2个成绩分属不同同学的情况有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共6种．因此事件A发生的概率P(A)＝＝.

　组　基础关

1.(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　所有基本事件为32,34,52,54,23,25,43,45，共8种，其中能被5整除的是25,45，共2种，故这个数能被5整除的概率为＝.

2.从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　(a，b)所有可能的结果为9种．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，所以直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝，故选A.

3.(2019·武汉市高三调研)从装有3双不同鞋的柜子中，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设这3双鞋分别为A1A2，B1B2，C1C2，则随机取出2只的基本事件有{A1A2}，{A1B1}，{A1B2}，{A1C1}，{A1C2}，{A2B1}，{A2B2}，{A2C1}，{A2C2}，{B1B2}，{B1C1}，{B1C2}，{B2C1}，{B2C2}，{C1C2}，共15个，其中取出的2只鞋不成对的基本事件有12个，所以所求概率P＝＝，故选B.

4.(2019·安徽阜阳模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8种，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.故选C.

5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节5个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是(　　)

A.0.3  B．0.4 

C．0.6  D．0.7

答案　D

解析　春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中，从5个节日中随机选取3个节日，有10个基本事件，春节和端午节都没被选中，有3个基本事件，所以P＝1－＝.

6. (2019·山西长治模拟)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图，现将一个勾3股4弦5的三角形放入平面直角坐标系xOy中，在坐标系中任取一点M(x，y)，其中x∈{0,1,2,3,4}，y∈{0,1,2,3}，则点M落在该三角形内(含边界)的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　依题意可知点M的个数为20个，落在三角形内的有11个，故概率为.

7.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.故选C.

8.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．

答案　

解析　如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6种，因此所求概率P＝＝.

9.如图所示是某市2019年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________．

答案　

解析　某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天，基本事件总数n＝12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m＝5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P＝＝.

10.(2019·江苏苏州模拟)若a，b∈{0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为________．

答案　

解析　a，b∈{0,1,2}，当函数f(x)＝ax2＋2x＋b没有零点时，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)．

基本事件总数n＝9，∴函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为P＝1－＝.

　组　能力关

1．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，从该三棱锥的6条棱中任选2条，共有15种不同的选法，其中互相垂直的2条棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5种情况，所以这2条棱互相垂直的概率P＝＝.

2.(2019·定远县三模)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车，记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则(　　)

A.P1·P2＝  B．P1＝P2＝

C.P1＋P2＝  D．P1<P2

答案　C

解析　分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾的基本事件有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．方案一：坐到“3号”车包含的基本事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，有3种，故方案一坐到“3号”车的概率P1＝＝；方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为P2＝.综上，所以P1＋P2＝＋＝.

3.(2019·广州模拟)已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，S4＝π(其中π为圆周率)，a4＝2a2，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝π(其中π为圆周率)，a4＝2a2，∴解得a1＝d＝，∴an＝＋(n－1)×＝，∴前30项中，第6项至第14项和第26项至第30项的余弦值是负数，∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为P＝.

4.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则构成椭圆＋＝1且离心率e>的概率是________．

答案　

解析　同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝ >⇒<⇒a>2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；当b＝2时，有a＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是＝.同理当a<b时，e>的概率也为.综上可知e>的概率为.

5.(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：K2＝.

解　(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.

女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.

(2)K2的观测值k＝≈4.762.

由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

　组　素养关

1.(2019·上饶模拟)研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间y(单位：分钟)有如下关系．

如果统计资料表明y与x有线性相关关系，

(1)判断y与x是否有很强的线性相关性；

(相关系数r的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01)

(2)求线性回归方程＝x＋ (精确到0.01)；

(3)将<27的时间数据i称为美丽数据，现从这6个时间数据i中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率．

参考数据：i＝175.4，iyi＝764.36，(xi－)(yi－)＝80.30，(xi－)2＝14.30，(yi－)2＝471.65, ＝82.13.

参考公式：r＝，

＝.

解　(1)r＝＝≈0.98>0.75，

∴y与x有很强的线性相关性．

(2)依题意，得＝3.9，＝i≈29.23，

(xi－)(yi－)＝80.30，(xi－)2＝14.30，

所以＝＝≈5.62.

又＝－≈29.23－5.62×3.9≈7.31，

故线性回归方程为＝5.62x＋7.31.

(3)由(2)可知，当x＝3.1时，3＝24.732<27，当x＝4.3时，4＝31.476>27，所以满足<27的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为a，b，c，另3个不是美丽数据的为A，B，C，则从6个数据中任取2个，共有15种情况，即aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC，ab，ac，bc，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况，即ab，ac，bc.所以从这6个数据i中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为P＝.

2.(2019·淄博模拟)《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E八个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91, 100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．

假设小明转换后的等级成绩为x，则

＝，

x≈63.45≈63(四舍五入取整)．

故小明最终成绩：63分.

某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下．

(1)求物理获得等级A的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数)；

(2)从物理原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率．

解　(1)设物理成绩获得等级A的学生原始成绩为x，其等级成绩为y，由转换公式得＝，解得y＝(x－82)＋91，

∴原始成绩的平均分为＝85＋×[1×8＋1×6＋4×5＋2×3＋4×2＋3×1＋3×0＋3×(－1)＋2×(－2)＋7×(－3)]＝85≈85.77≈86，

∴等级成绩的平均分为≈×(86－82)＋91≈94.

(2)物理成绩不小于90分的学生共有6名．其中1名原始成绩为93的学生的等级成绩为100，

1名原始成绩为91，由转换公式得其等级成绩为98，4名原始成绩为90，由转换公式得其等级成绩为98，

设等级成绩为100的1名学生用a表示，等级成绩为98的5名学生用1,2,3,4,5表示，

任取2名同学的所有结果为a1，a2，a3，a4，a5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共15种，

等级分数不相等的情况为a1，a2，a3，a4，a5，共5种，

由古典概型计算公式得2名同学等级成绩不相等的概率P＝＝.