2021届山东高考数学一轮创新教学案：解答题专项突破（四）高考中立体几何问题的热点题型
展开解答题专项突破(四) 高考中立体几何问题的热点题型
立体几何是每年高考的重要内容，每年基本上都是一道客观题和一道解答题，客观题主要考查考生的空间想象能力及简单的计算能力．解答题主要采用证明与计算相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间点、线、面的位置关系进行空间几何体的体积或表面积的计算求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．
热点题型1 平行、垂直关系的证明
典例 (2020·北京西城区摸底)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．求证：
(1)AC⊥平面BDEF；
(2)平面BDGH∥平面AEF.
解题思路 (1)看到平面BDEF⊥平面ABCD，想到用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面BDEF.
(2)要证平面BDGH∥平面AEF，可以转化为证明平面BDGH内有两条相交直线都与平面AEF平行，GH∥平面AEF易证，另外一条直线可以在△ACF中寻找．
规范解答 (1)因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.
又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.
(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF.
又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，如图，
在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，
所以OH∥AF.
因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
热点题型2 立体几何中的计算问题
典例 (2019·安徽省定远中学模拟)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P－ABCFE.
(1)求证：AC∥平面PEF；
(2)求五棱锥P－ABCFE的体积最大时△PAC的面积．
解题思路 (1)翻折过程中，多边形ABCFE中的点、线之间的位置关系是不变的，由此可证AC与平面PEF内的一条直线平行．
(2)易知当平面PEF⊥平面ABCFE时，五棱锥P－ABCFE的体积最大．求△PAC的面积，关键是求边AC上的高．为此，可先借助面面垂直得到线面垂直，然后构造直角三角形求有关线段的长．
规范解答 (1)证明：在题图1中，连接AC，如图3所示，
又E，F分别为AD，CD的中点，所以EF∥AC.即图2中有EF∥AC.又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，所以AC∥平面PEF.
(2)在翻折的过程中，当平面PEF⊥平面ABCFE时，五棱锥P－ABCFE的体积最大．在图1中，取EF的中点M，DE的中点N，连接AM，MN.由正方形ABCD的性质知，MN∥DF，MN⊥AD，MN＝NE＝1，AE＝DF＝2，
AM＝＝＝.
在题图2中，取EF的中点H，分别连接PH，AH，取AC的中点O，连接PO.如图4所示．
由正方形ABCD的性质知，PH⊥EF.
又平面PEF⊥平面ABCFE，
所以PH⊥平面ABCFE，则PH⊥AH.
由AB＝4，有PF＝AE＝PE＝2，EH＝PH＝HF＝，AC＝4，
PA＝＝＝2.
同理可知PC＝2.又O为AC的中点，所以OP⊥AC，
所以OP＝＝＝2，
所以S△PAC＝×OP×AC＝×2×4＝4.
热点题型3 立体几何中的探索性问题
典例 (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解题思路 (1)要证明平面AMD⊥平面BMC，只需证明DM⊥平面BMC，从而转化为线线垂直．
(2)探索性问题，采用先猜后证的方法．对于探索结论是否存在，一般先假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．
规范解答 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC，BD，设AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．
连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
