2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第5节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用


第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

知 识 梳 理
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(新教材必修第一册P240T1改编)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析　因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.
答案　C
3.(老教材必修4P66T4改编)如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为________________.

解析　观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
答案　y＝10sin＋40，x∈[8，14]

4.(2019·衡水中学联考)将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为(　　)
A.y＝2sin 4x B.y＝2sin
C.y＝2sin x D.y＝2sin
解析　将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.
答案　A
5.(2020·绵阳诊断改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案　
6.(2020·太原一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2020·石家庄调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)
A.2 B. C. D.
解析　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案　(1)D　(2)A
考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为(　　)

A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)(2020·河南六市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ0，∴ω＝.∴f(x)＝Asin.
又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.
又0≤φ0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin，因为其图象经过原点，
所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为－＝.
答案　B
4.(2019·成都检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A. B.
C. D.
解析　由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A.
答案　A
5.(2020·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以2t－＝－2t＋π＋2kπ，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案　B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
解析　y＝sin xy＝siny＝sin.
答案　y＝sin
7.(2020·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0