2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第6节第一课时　正弦定理和余弦定理

第6节　解三角形考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C常见变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin Acos A＝；cos B＝；cos C＝2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).4.测量中的几个术语(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.[常用结论与微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　由余弦定理知cos B＝＝.答案　A3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A.50 m   B.50 m   C.25 m   D. m解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，∴AB＝＝＝50(m).答案　A4.(2019·安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)A.   B.   C.   D.解析　由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.答案　D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A.4   B. C.   D.2解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.答案　A6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.答案　第一课时　正弦定理和余弦定理考点一　利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2019·郑州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)A.   B.   C.   D.6(2)(2020·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.解析　(1)由2cos2－cos 2C＝1，可得2cos2－1－cos 2C＝0，则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①又a－b＝1，②联立①，②得a＝4，b＝3，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，又＝，所以＝＝－，从而＝－⇒tan A＝－，又因为0<A<π，所以A＝.答案　(1)A　(2)规律方法　利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.【训练1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)A.1个   B.2个   C.0个   D.无法确定(2)(2020·沈阳质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.解析　(1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A<a<b.∴满足条件的三角形有2个.(2)由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝6＋－＝，所以b＝.答案　(1)B　(2)考点二　判断三角形的形状【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)A.锐角三角形    B.直角三角形C.钝角三角形    D.不确定解析　(1)法一　由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形.法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC为等腰三角形.(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形.答案　(1)C　(2)B规律方法　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC为(　　)A.钝角三角形    B.直角三角形C.锐角三角形    D.等边三角形(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A.直角三角形    B.等腰非等边三角形C.等边三角形    D.钝角三角形解析　(1)由<cos A，得<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin Bcos A，即sin(A＋B)<sin Bcos A，所以sin Acos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形.答案　(1)A　(2)C考点三　和三角形面积有关的问题【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.因为sin A≠0，所以sin＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.规律方法　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【训练3】 (2019·西安二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长.解　(1)b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为b2＋c2－a2＝c，即得＝1，所以＝，所以cos A＝.又因为A为△ABC的内角，所以A＝60°.(2)根据题意，得S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，所以bc＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9.解得b＋c＝5，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.数学抽象、数学运算——二级结论之射影定理的活用赏析设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcos C＝CD，ccos B＝BD，故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcos C＋ccos B，同理可证b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A.【例1】 (2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)A.a＝2b   B.b＝2a   C.A＝2B   D.B＝2A[通性通法]法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，即cos C(2sin B－sin A)＝0，所以cos C＝0或2sin B＝sin A，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°<C<90°，故2b＝a.故选A.法二　由正弦定理和余弦定理得b＝2a×＋c×，所以2b2＝a2＋3b2－c2，即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，即(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.[应用示范]由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.答案　A【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.[通性通法]依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0<B<π，所以B＝.[应用示范]由射影定理得acos C＋ccos A＝b，又2bcos B＝acos C＋ccos A，则2bcos B＝b，即cos B＝，又B∈(0，π)，故B＝.答案　思维升华　射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.A级　基础巩固一、选择题1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)A.   B.   C.2   D.3解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.答案　D2.(2020·唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，则sin A＝＝＝＝，则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.答案　D3.(2019·厦门一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)A.   B.   C.   D.解析　由正弦定理及sin C＝2sin A得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.答案　D4.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析　因为cos2＝，所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，即＝，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案　B5.(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.答案　B二、填空题6.(多填题)(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.解析　由正弦定理，得sin B＝sin A＝，又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).答案　　37.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.解析　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得36＝4c2＋c2－2×2c2×，解得c＝2，所以a＝4，所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.答案　68.(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________.解析　由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12，①由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，②联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.答案　4＋4三、解答题9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.(1)求A；(2)求AC边上的高.解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，所以sin B＝＝.由正弦定理得sin A＝＝.由题设知<B<π，所以0<A<.所以A＝.(2)在△ABC中，因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，所以AC边上的高为asin C＝7×＝.10.(开放题)在△ABC中，a＝2，b＝6，________，求△ABC的周长l及面积S△ABC.在①A＝30°，②C＝30°，③B＝60°这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解　选条件①：∵a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，又因为bsin A＝6sin 30°＝3，bsin A<a<b，所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得sin B＝＝＝.因为b>a，B>A，0°<B<180°，所以B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4，l＝a＋b＋c＝2＋6＋4＝6＋6，S△ABC＝ab＝6；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2，l＝a＋b＋c＝6＋4，S△ABC＝absin C＝×2×6×sin 30°＝3.选条件②：∵a＝2，b＝6，C＝30°，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋36－2×2×6×＝12，c＝2，则l＝a＋b＋c＝6＋4，S△ABC＝absin C＝3.选条件③：∵a＝2，b＝6，a<b，B＝60°，∴A<B，又由正弦定理，得sin A＝＝＝，∴A＝30°，C＝90°，c＝＝4，l＝a＋b＋c＝6＋6，S△ABC＝ab＝6.B级　能力提升11.(2020·郴州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)A.或    B.C.    D.解析　由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，因为0<A<π，所以A＝，由bc＝a2及正弦定理，得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，即4sin(π－C－A)sin C＝，即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，即2C＝或，即C＝或.答案　A12.(2020·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.解析　因为cos A＝sin Acos C，所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，所以＝，又＝，a＝2，所以＝，得tan A＝，又A∈(0，π)，则A＝，由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.答案　313.(多填题)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析　如图，易知sin ∠C＝，cos ∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC＝×＋×＝.答案　　14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a<c，故cos A＝.因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.C级　创新猜想15.(新背景题)(2020·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.解析　根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，所以S△ABC＝＝＝.答案