2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第一章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求　1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(　　)
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(　　)
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(　　)
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.(　　)
解析　(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(老教材选修2－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.
答案　B
3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等

4.(2020·成都诊断)已知命题p：∃x0∈R，x＋4x0＋60
C.∀x∈R，x2＋4x＋6>0 D.∃x∈R，x2＋4x＋6≥0
解析　依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.
答案　A
5.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是(　　)
A.綈p B.q
C.p∧q D.p∧(綈q)
解析　根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题.
答案　D
6.(2019·豫南五校联考)若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析　由x∈，∴1≤tan x＋2≤2＋.
∵“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案　1

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧(綈q)
(2)(2020·济南调研)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
解析　(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.
綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.
(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p∧(綈q)为真命题.
答案　(1)A　(2)B
规律方法　1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】 (1)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则(　　)
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b2”.
(2)令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，
f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1，命题p真；
令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)1，x－1≤0 D.∃x0≤1，x－1≤0
解析　命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x－1≤0.
答案　C
2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(　　)
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析　命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定，选A.
答案　A
3.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0
D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0
解析　∵全称命题的否定为特称命题，
∴该命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.
答案　D
4.已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a22，b>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
解析　当x＝2时，2x＝x2，所以p是假命题；由a>2，b>2可以推出ab>4；反之不成立，例如a＝2，b＝4，所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以(綈p)∧(綈q)是真命题.
答案　D
6.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
解析　因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a0恒成立，p1是真命题.
又x2＋x＋1＝＋>0，∴p2是假命题.
由sin＝1>2－π，知p3是假命题.
取x＝－时，cos>cos＝，
但x2＋x＋1＝0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析　由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4