初中数学沪科版八年级上册13.2 命题与证明第3课时学案及答案

这是一份初中数学沪科版八年级上册13.2 命题与证明第3课时学案及答案，共5页。学案主要包含了变式拓展等内容，欢迎下载使用。

知识要点基础练





知识点1 三角形的内角和定理的证明与辅助线


1.如图,在证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是(D)





A.数形结合B.特殊到一般


C.一般到特殊D.转化


知识点2 直角三角形的两锐角互余


2.在Rt△ABC中,∠B是直角,∠C=22°,那么∠A的度数是(C)


A.22°B.58°


C.68°D.112°


3.如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,求∠BAD的度数.





解:∵AC⊥BD,∠1=∠2,


∴∠1=45°,∠ACB=90°,


∵∠D=40°,∴∠CAD=50°,


∴∠BAD=∠1+∠CAD=95°.


知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形


4.三角形有一个角的度数是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是(C)


A.锐角三角形B.钝角三角形


C.直角三角形D.无法确定


5.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?





解:△ABC是直角三角形.理由如下:


∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.


∴∠1+∠A=90°.


又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,


∴△ABC是直角三角形.


综合能力提升练


6.如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为(B)





A.65°B.55°C.45°D.35°


7.如图,△ABC的角平分线CD,BE相交于点F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于点G.下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②CA平分∠BCG;③∠ADC=∠GCD;④∠DFB=∠CGE.其中正确的结论有(C)





A.1个B.2个


C.3个D.4个





8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是(C)


A.25°B.20°


C.15°D.10°


【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点B在AE上,那么图中的∠ABC= 75° .








9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是(A)


A.3B.4C.5D.6





10.如图,在△ABC中,∠ACB=68°,若P为△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC=(D)


A.68°B.120°C.92°D.112°


11.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,∠ABC的平分线BE分别交CD,CA于点F,E,则下列结论正确的是(A)





①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠A=∠4;④∠2与∠5互余.


A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③


12.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= 360° .





13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为 45°或135° .





14.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为 60°或90° .


15.如图,BD,CE是△ABC的高,BD和CE相交于点O.





(1)图中有哪几个直角三角形?


(2)图中有与∠2相等的角吗?请说明理由.


(3)若∠4=55°,∠ACB=65°,求∠3,∠5的度数.


解:(1)直角三角形有:△BOE,△BCE,△ACE,△BCD,△COD,△ABD.


(2)与∠2相等的角是∠1.


理由如下:∵BD,CE是△ABC的高,


∴∠1+∠A=90°,∠2+∠A=90°,∴∠1=∠2,


∴与∠2相等的角是∠1.


(3)∵∠ACB=65°,BD是高,


∴∠3=90°-∠ACB=90°-65°=25°,


在△BOC中,∠BOC=180°-∠3-∠4=180°-25°-55°=100°,


∴∠5=∠BOC=100°.


16.在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.


(1)求∠DCE的度数;


(2)若∠CEF=135°,求证:EF∥BC.





解:(1)∵∠B=30°,CD⊥AB,


∴∠DCB=90°-∠B=60°.


∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,


∴∠ECB=∠ACB=45°,


∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.


(2)∵∠CEF=135°,∠ECB=∠ACB=45°,


∴∠CEF+∠ECB=180°,


∴EF∥BC.


拓展探究突破练


17.如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点.


(1)观察图形,试猜想∠C和∠DOE,∠C和∠AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.


(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为 相等或互补 .


(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.





解:(1)连接OC,∵AD⊥BC,BE⊥AC,


∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,


∴∠ACO+∠COE+∠BCO+∠COD=180°,即∠ACB+∠DOE=180°.


∵∠DOE+∠AOE=180°,∴∠ACB=∠AOE.


(2)提示:两种情况分别如图所示.





(3)设较小的角为α,则另一个角为3α-60°,


∴α+3α-60°=180°或α=3α-60,解得α=60°或30°.