华师大版九年级上册21.2 二次根式的乘除法综合与测试第4课时导学案及答案

这是一份华师大版九年级上册21.2 二次根式的乘除法综合与测试第4课时导学案及答案，共12页。学案主要包含了解题思路，方法归纳，错因分析等内容，欢迎下载使用。

第四课时


课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）


1、二次根式乘法法则：两个二次根式相等，把被开方数相乘，根指数不变.用字母表示为：.注意：①对于多个二次根式相乘也适用，即；②法则中可以是数也可以是代数式，只要满足成立条件即可；③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.


2、二次根式乘法法则的逆用：.注意：①二次根式的乘法法则的逆用实际上就是积的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，，有意义，但在实数范围内无意义，因此应先进行符号运算，如.


3、二次根式除法法则：两个二次根式相除，结果仍为二次根式，只需把被开方数相除.用字母表示为：.


4、二次根式除法法则的逆用：.注意：①二次根式的除法法则的逆用实际上就是商的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果都是负数，虽然，有意义，但在实数范围内无意义，此时应先进行符号运算，如；③如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，以免出现这样的错误.


5、最简二次根式：我们把满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.它必须满足两个条件：①被开方数不含分母或小数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的计算和化简的结果，一般都要化成最简二次根式.











名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）


典例精析


类型一：二次根式的乘除法


例1、计算：（1）×； （2）÷.


【解题思路】（1）用二次根式的乘法法则进行计算，运算时应视x+2y为一个整体；（2）直接运用公式÷＝化简.


【解】（1）×＝＝(x+2y)；


（2）÷＝＝＝3.


类型二：逆用二次根式的乘除法法则化简代数式


例2、计算：（1） （2）


【解题思路】（1）题为具体数字的二次根式的乘、除法运算，要避免出现这样的算法：=.虽然结果是对的，但其计算过程是大错特错，其原因是忽视了公式成立的前提条件；（2）本题为二次根式的字母运算，方法与具体数字的二次根式的运算一样，所不同的是要注意根号下字母的取值范围，此题中的a、b、c均为正数.


【解】（1）=；


（2）原式=.


类型三：将根号外的因式或因数移入根号内


例3、把根号外的因式移入根号内.


【解题思路】根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面；由被开方数，，又在分母的位置故，只有，所以把移至根号里边时，外面要加负号.


【解】.


【方法归纳】由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算.如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．


类型四：将根号内的因式或因数移出根号外


例4、计算（1）（2）


【解题思路】首先中，被开方数是，它们是求差的运算.所以是错误的.对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解，特别是根号内的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易.


【解】（1）；


（2）.


例5、化简：（1） （2）


【解题思路】如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来.


解：，.


（2），；


.


【方法归纳】在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值范围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论.


类型五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简


例6、 化简:（1）； （2）


【解题思路】运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果.


【解】（1）原式=


（2）原式= = .


类型六：最简二次根式


例7、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）


A、 B、 C、 D、


【解题思路】直接利用最简二次根式的定义来判断：、的被开方数含有能开得尽方的因数或因式，的被开方数中含有分母，均不是最简二次根式，而满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式这两个条件，所以是最简二次根式.


【解】B.


易错警示


1、不管字母正负，滥用积（商）的算术平方根性质而出错


例8、已知求


【错解】原式.


【错因分析】由＞0,知同号;又＜0,＜0.


【正解】原式=


2、化简不彻底，结果不是最简二次根式


例9、化简.


【错解】原式＝


【错因分析】化简二次根式的结果一定是最简二次根式，而.


【正解】原式＝，或原式＝


3、忽视题目中隐含条件而出错


例10、化简


【错解】.


【错因分析】题中只隐含即＞0，＞0，所以与有可能相等.故应分两种情况讨论.


【正解】（1）当时，原式=0；


（2）当时，


4、在化简时，忽视字母的具体取值而导致错误


例11、当时，求的值.


【错解】原式＝＝.


【错因分析】由,得,则＜0,.


【正解】 原式＝＝


5、忽视中的隐含条件≥0


例12、化简.


【错解】原式＝＝＝.


【错因分析】忽略了的隐含条件，即，此时


【正解】由原式＝


6、运算顺序不清导致错误


例13、计算 ÷×


【错解】原式＝÷1＝.


【错因分析】忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算.


【正解】原式＝.


课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）


知识点一：二次根式的乘除法


1、计算（1）（2）





知识点二：逆用二次根式乘除法则化简或计算


2、计算：（1） （2）


知识点三：最简二次根式


3、下列根式:①;②;③;④;⑤;⑥,其中最简二次根式是 ( )


A.①③④⑥ B.③④⑥ C.③④⑤⑥ D.②③⑥





知识点四：将根号外的因数或因式移入根号内


4、若把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）


A． B． C． D．


知识五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简


5、已知求的值.








6、设，试求的值.





























7、下面的推理过程错在哪里？并说明理由


∵ ，∴ .


又∵ ，∴－.

















课后作业练习


一、选择题：


1、对式子作恒等变形，使根号外不含字母m，正确的结果是（ ）


A． B． C． D．


2、下列各式中，正确的是（ ）


A． B．


C． D．


3、能使成立的的取值范围是（ ）


A． B． C． D．


4、下列各式中，一定能成立的是（ ）


A． B．


C． D．


5、已知，=6，则的值为（ ）


A． B．2 C． D．





6、下列各式不是最简二次根式的是（ ）


A. B.


C. D.


7、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）


A. B.


C. D.


二、填空题：


8、（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A． B． C． D． E．. 问题的答案是（只需填字母）： ；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是 （用代数式）


9、星期天，刘红的妈妈和刘红做了一个小游戏，刘红的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若表示的整数部分，表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是元，你猜一下，这个纸包里的钱数是多少？若猜对了，包里的钱由你支配.”根据上述信息，你知道纸包里钱的数目是 .





10、化简=


11、等式成立的条件是 .


12、已知矩形的长是，宽为，那么与这个矩形面积相等的圆的半径是 .


三、解答题：


13、计算下面各题：


（1）、（2）、








（3）、 （4）、








（5）、 （6）、














14、一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，求铁桶的底面的边长是多少？








15、站在水平高度为的地方看到可见的水平距离为，它们近似地符合公式.如果某人登山从海拔登上海拔2处，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？











16、化简：


解：原式= ①


= ②


= ③


= ④


= ⑤


问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号： .


（2）错误的原因是 ；


（3）本题的正确结论是 .


17、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝；（一） ＝（二）


＝＝ （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.


还可以用以下方法化简：＝（四）


请用不同的方法化简.


参照（三）式得＝______________________________________________；


参照（四）式得＝_________________________________________.


（2）化简：.


课堂作业参考答案：


1、解：（1）.（2）


2、解：（1）.


（2）





3、B


4、A


5、解:由题可知=


6、


7、解：上述推理中是错误的，因为没有意义，在应用公式＝，其中的条件a≥0，b≥0不能忽视，有意义的条件是ab≥0，这里可以a≥0，b≥0，也可能a≤0，b≤0，而＝有意义的条件是与同时有意义，因而必须是a≥0，b≥0.





课后作业练习答案


1.答案：首先解释恒等变形：指的是m不论取什么样的实数，等号左、右两部分都相等；由.当把根号外的m移到根号内时，应是所以选C.


2.答案：C


3.答案：A


4.答案：A


5.提示：∵，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2=a+b－2=4


∴，故选A．


6.答案：D


7.答案：D


8.答案：（1）；（2）设这个数为，则（为有理数），所以（为有理数）．


9.答案：1元


10.答案：


11.答案：


12.答案：


13.解：（1）、30（2）、（3）、


（4）、


（5）、


（6）、此题应注意观察：是两数之差与两数之和，若把分解为后，则原式=.


14.解：设铁桶底面边长是，则： ，所以，所以.


15.答案：


16.答案：


（1）④；（2）错因在由忽略了这一条件，应是；（3）－





17.解：（1），


；


（2）原式=


==．