初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程学案设计

这是一份初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程学案设计，共6页。学案主要包含了解题思路，方法归纳，错因分析等内容，欢迎下载使用。

课前知识管理


1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解一元二次方程的概念时应注意：形如的方程不一定是一元二次方程.当时，是一元二次方程；当，且时，是一元一次方程.注意一元二次方程应满足的条件：（1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数（即一种未知数）；（3）未知数的最高次数是2（即未知数的指数最高是2）.


2．要判定一个整式方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为的形式.变形时，允许去分母、去括号、移项、合并同类项.在变形之后的形式中，若，则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程.如：，所以它是一元二次方程；而，它不是一元二次方程.


3．一元二次方程的一般形式是（是已知数，）．它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项.任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式，在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①在求一元二次方程各项的系数时，首先必须把一元二次方程化成一般形式；②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.


4．一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.


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典例精析


1．一元二次方程的识别


【例1】下列方程中,关于x的一元二次方程是( )


A.3(x+1)2=2(x+1) B.=0


C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2－1


【解题思路】因B中的分母含有未知数,所以它不是一元二次方程.C中字母a没有强调不为0,若a=0,则C中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三个条件.


【解】选A．


【方法归纳】(1)判断一个方程是否是一元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数最高次数是1,那它就不是一元二次方程；(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数；(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.


2．确定方程中未知字母的值


【例2】方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )


A.m=±2 B.m=2 C.m=－2 D.m≠±2


【解题思路】由于一元二次方程中未知数的最高次数是2,所以|m|=2,即m=±2.但当m=－2时,原方程变为－6x+1=0,它是一元一次方程,不合题意,舍去.当m=2时,原方程变为4x2+6x+1=0,它是一元二次方程．


【解】选B．


【方法归纳】二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件，未知数指数含字母常常出现讨论不全面而造成漏解或增解．


3.确定一元二次方程


【例3】设是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，且满足，求满足条件的一元二次方程为 .


【解题思路】由，得，解得.


∵是二次项的系数，是一次项的系数，是常数项，∴所求的方程为.


【解】.


【方法归纳】此题关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性，即.求解时主要应用性质：有且只有使各项为0时，几个非负数的和才为0.无论题中的非负数是哪种形式，都可以应用此结论列方程组求出多个未知数的值.


4、一元二次方程的根


【例4】已知2是关于的方程的一个根，则的值为（ ）


A、2 B、 C、3 D、－


【解题思路】利用方程根的定义，可以先将关于的方程转化为关于的方程，从而求出的值.因为2是关于的方程的一个根，所以，解得.


【解】选A.


【方法归纳】由本题分析，我们可得以下发现：①涉及基本概念的问题应充分利用基本概念；②代解、求解是解决与方程有关的问题的两个基本方法.


易错警示


【例5】如果关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）


A、2 B、－2 C、2或－2 D、0


【错解】由，得，故选C.


【错因分析】一元二次方程中隐含着一个相等关系和一个不等关系，相等关系是未知数的最高指数等于2；不等关系是二次项系数，错解正是忽视了这个不等关系造成的.


【正解】由，得，由得，故只能是，选B.











课堂练习评测


知识点1：列一元二次方程


1．（2010贵州毕节）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3 000万元，预计2010年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）


A． B．


C． D．


知识点2：一元二次方程的识别


2．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）


（A）x2+－2=0 （B）ax2+bx+c=0 （C）（n2+1）x2+n=0 （D）mx2+3x=n


3．有下列方程：① 2x2－3=0；② =1；③ ；④ ay2+2y+c=0(其中a为常数)；⑤ (x+1)(x－3)=x2+5；⑥ x－x2=0 .其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 .(只需填写序号)


知识点3：确定一元二次方程


4．（2010年福建德化）已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： ．


5．若方程(a－1)+5x=4 是一元二次方程，则a=


6．关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0.当m_________时,是一元一次方程；当m_________时,是一元二次方程.


知识点4：一元二次方程的根


7.下列各组取值是方程的根的是（ ）


A、2或3 B、3或4


C、4或5 D、5或6














课后作业练习


基本能力


1．方程化为形式后，的值为（ ）


（A）1，－2，－15 （B）1，－2，－15 （C）1，2，－15 （D）－1，2，－15


2．把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.





3. （2010大兴安岭）代数式3x2－4x－5的值为7，则x2－ EQ \F(4,3) x－5的值为_______________．


4. 方程中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为___________


5.在－3，－2，－1，0，1，2，3这七个数中，是方程的根的是 .


拓展能力


6 .（2010年浙江台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 ．


7.在解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的一元二次方程的一般形式是 .


8. 在下列方程：① 3x2+(1+x)+1=0；② 3x2++1=0；③ 4x2=ax (其中a为常数)；④ 2x2+3x；⑤ =2x；⑥ =2x；⑦ ｜x2+2x｜=4. 其中是一元二次方程的有 .(只需填写序号)





9.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__ ________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.


10. 关于的方程，当为何值时该方程是一元一次方程？当为何值时该方程是一元二次方程？





拓展探究


11．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．


12. 方程是关于x的一元二次方程，则的值为 .


13. 若方程是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）


A. ==2 B. =2, =1 C. =2, =1 D. ==1





14. （2010年佛山市）教材或资料出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：


（1）下面式子中有哪些是方程化为一元二次方程的一般形式？（只填写序号）


①，②，③，④，⑤


（2）方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有上面关系？


课堂作业练习答案


1.答案：A.


2.答案：C


3.答案：①、③、④、⑤、⑥；①、③、⑥


4.答案：先写出一个关于1的平方的等式，然后再用未知数x代替1即可等到符合题意的一元二次方程.答案不惟一，如等.


5.答案：－1


6.答案：4，≠±4


7.答案：C


课后作业答案：


1.答案：C


2.解析：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).


3.答案：－1


4.答案：－1


5.答案：1，2


6.答案：


7.答案：


8.答案：①、⑤、⑥、⑦.


9.答案： .


10.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，当时，该方程是一元二次方程，而当且时，该方程是一元一次方程．


11.解：答案不唯一，如 ， 等.


12.答案：2


13.答案：B


14.解：（1）①②④⑤ ；（2）若说它的二次系数为a（a≠0），则一次项系数为－2a、常数项为－2a.