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初中数学华师大版九年级上册2. 图形的变换与坐标学案设计
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这是一份初中数学华师大版九年级上册2. 图形的变换与坐标学案设计，共14页。学案主要包含了解题思路，方法归纳等内容，欢迎下载使用。
课前知识管理
1、坐标轴上的坐标的特征
2、对称点的坐标特征
点P关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是.
3、图形坐标变换规律
平移: 上下平移：横坐标不变,纵坐标改变； 左右平移：横坐标改变,纵坐标不变.
对称: 关于x轴对称：横坐标不变,纵坐标改变；关于y轴对称：横坐标不变,纵坐标不变.
关于原点中心对称：横坐标、纵坐标都互为相反数.
旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：建坐标系求点的坐标
例1、如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），那么黑棋①的坐标应该是___________.
【解题思路】只要我们能找出坐标系的原点，问题即可很快解决.由白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），可得x轴正方向向右，y轴正方向向上，从④坐标开始向右平移3个，再向上平移1个即到黑棋①的位置，可得坐标（-3，-7）.
【解】（-3，-7）
【方法归纳】在同一个图形中，建立不同的坐标系，点的坐标也不同，但如果点的坐标知道了，那么坐标系也就确定了.在解题时，要根据题目特点建立适当的平面直角坐标系来描述物体的位置.
对应练习：如图，平行四边形的中心在原点，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），则其他点的坐标为_________________________．
答案：A（-1，2），B（-3，-2）
知识点2：对称变换
例2、在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；（2）直接写出三点的坐标：．
【解题思路】如图，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以，可求出相应点的坐标，之后再连线画出对称变换后的图形.
【解】（1）如上图；（2），，
【方法归纳】关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以；关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以；关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以.
对应练习：如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积．（2）在图中作出关于轴的对称图形．
（3）写出点的坐标．
答案：（1）（或7.5）（平方单位）；（2）如图（2）；（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）
知识点3：位似变换
例3如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
【解题思路】本题是一道在直角坐标系内画位似图形的试题，根据位似比为2∶1，可延长BO到B′，使OB′=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′C′，则△OB′C′即位所作的位似图形.进一步可以求到B′、C′点的坐标.
【解】（1）延长BO到B′，使B′O=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′、C′.则△OB′C′即为△OBC的位似图形（如图）.（2）观察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2).（3）M′(-2x．-2y).
【方法归纳】若以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍；
若以点O为位似中心在y轴的右侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍.
对应练习：如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
答案：如图：
知识点4：根据已知点坐标求对称点坐标
例4、点A（-1，2）关于x轴的对称点坐标是__________；点A关于y轴的对称点坐标是__________；点A关于原点的对称点的坐标是____________.
【解题思路】本题考查关于x轴、y轴、原点对称点的坐标的特征，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数.
【解】（-1，-2） （1，2） （1，-2）
【方法归纳】根据已知点坐标求对称点坐标在中考题中出现的频率较高，有时会结合其他知识点来考查，但只要我们记住它的变化规律就不会出错了.规律为：关于什么轴对称，什么轴的坐标就不变；关于原点对称横坐标、纵坐标都要改变.
对应练习：M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(2,-1)
答案：C
知识点5：旋转变换
例5.如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称： 点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
【解题思路】本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.
【解】如图P2(1,-1)， P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).
【方法归纳】一般而言，对于这样的图形旋转及点的坐标的问题，通过画图来探究可以达到一目了然之效．
对应练习：如图，在一个的正方形DEFG网格中有一个．
（1）在网格中画出向下平移3个单位得到的；
（2）在网格中画出绕Ｃ点逆时针方向旋转得到的；
（3）若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出，两点的坐标．
解：（1）、（2）见图；（3），，
知识点6：确定图形变换后图形中点的坐标
例6、（1）请在如图所示的方格纸中，将向上平移格，再向右平移格，得，再将绕点按顺时针方向旋转，得，最后将以点为位似中心放大到倍，得；
（2）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为： 点（ ），点（ ），点（ ）．
【解题思路】本题求解的步骤为：首先按要求画出相应的图形，再建立适当的坐标系，最后观察坐标系中的各个图形中所求点的位置，即求出相应点的坐标．
【解】（1）小题的答案见上图；（2）小题的答案不唯一，略．
【方法归纳】本题是一道集平移、旋转、位似图形知识和直角坐标系知识为一体的考题，考察了综合利用所学知识求解问题的能力．
例7、如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1，1)，A(2，3)，B(4，2) ．
(1)以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TA∶TA)3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B，放大后点A,B的对应点分别为A，B．画出△TA′B，并写出点A′，B的坐标；
(2)在(1)中，若C(a，b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C 的坐标．
【解题思路】利用位似的方法将一个图形放大，从特殊到一般，探究、归纳位置变换后点的坐标的变化．也可利用相似的性质，进一步验证．
【解】(1)如图所示，点A，B的坐标分别为(4，7)，(10，4)；(2)变化后点C的对应点C′的坐标为．
【方法归纳】将图形放入平面直角坐标系里，通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，体现了形与数的统一，它是用代数方法研究图形的起始与基础．如果题目中“在位似中心的同侧”这一条件去掉,那么还要考虑两种情况.
对应练习：如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）
A.（2，2）,（3，4）,（1，7） B.（-2，2）,（4，3）,（1，7）
C.（-2，2）,（3，4）,（1，7） D.（2，-2）,（3，3）,（1，7）
答案：C.
知识点七：平移变换
例8、如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______.
【解题思路】平移时点的坐标变化规律是：左右平移，横变纵不变；上下平移，纵变横不变.点向上（右）移为加法，点向下（左）移为减法.
【解】由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴经过相同的平移后可得.
【方法归纳】平移时点的坐标变化规律：左右平移时：向左平移个单位，向右平移 个单位；上下平移时：向上平移个单位，向下平移 个单位.
对应练习：在平面直角坐标系内，把点P（－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（－2，2） B．（－1，1） C．（－3，1） D．（－2，0）
答案：B
课堂练习评测
考点1：旋转变换
1、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点2：平移变换
2、如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的△A′B′C′，如果图①中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图②中的对应点P′的坐标为（ ）
A．(a-2,b-3) B．(a-3,b-2) C．(a+3,b+2) D．(a+2,b+3)
3、如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4，2)，(-2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 .
考点3：对称变换
4、已知点P(5，a)与P′(b，-1)是关于原点的对称点，则a、b的值是（ ）.
A.a=1，b=5 B.a=1，b=-5 C.a=-1，b=5 D.a=-1，b=-5
考点4：位似变换
5、已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或B．或 C． D．
考点5：综合应用
6、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
7、在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．
课后作业练习
基础训练
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、点M（-5，y）向下平移5个单位的像关于x轴对称，则y的值是（ ）
A、-5 B、5 C、 D、－
2、在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移2个单位长度后的坐标为（ ）
A、（4，1） B、（0，1） C、（2，3） D、（2，-1）
3、观察图（1）与（2）中的两个三角形，可把（1）中的三角形的三个顶点，怎样变化就得到（2）中的三角形的三个顶点（ ）
A、每个点的横坐标加上2 B、每个点的纵坐标加上2
C、每个点的横坐标减去2 D、每个点的纵坐标减去2
4、如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5、在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A´，则点A与点A´的关系是（ ）
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于原点对称 D、将点A向x轴负方向平移一个单位得点A´
6、如图，一个机器人从Ｏ点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点．按如此规律走下去，当机器人走到点时，离Ｏ点的距离是（ ）
A、 10 B、 12 C、 15 D、 20
二、填空题：
7、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________.
8、如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知两点的坐标分别为，，若的坐标为，则的坐标为 ．
9、若B地在A地的南偏东500方向,5km处，则A地在B地的 方向 处.
10、已知点A（a，-3），B（4，b）关于y轴对称，则a-b= .
三、解答题：
11、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）；.
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则的坐标是________，的坐标是________．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是________，的坐标是________．
12、在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）.
（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标.
（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险.两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置？在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度.
23.6.2图形的变换与坐标作业参考答案：
1、D
2、C
3、(5，4)
4、B
5、A
6、解：如下图所示，（4）对称中心是（0，0）
7、解：（1）①，； ②；
（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．，，，.
课后作业参考答案
一、选择题
CBBBB C
二、填空题：
7、-10；
8、（2，2）
9、北偏西500，5km；
10、-1；
三、解答题：
11、（1） （16，3），（32，0）； （2） （2n，3），（2n+1，0）；
12、（1）如图，点A（0，1），点B（4，4）；
（2）找A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则P点即为水泵站的位置， PA＋PB=PA′＋PB=A′B且最短（如上图）.过B、A′分别作x轴、y轴的垂线交于E，作AD⊥BE，垂足为D，则BD=3，
在Rt△ABD中,AD==4，所以A点坐标为（0，1），B点坐标为（4，4）；A′点坐标为（0，－1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B==. 故所用水管最短长度为千米.点P所在位置
轴
轴
原点
点P的坐标
课前知识管理
1、坐标轴上的坐标的特征
2、对称点的坐标特征
点P关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称的点的坐标是.
3、图形坐标变换规律
平移: 上下平移：横坐标不变,纵坐标改变； 左右平移：横坐标改变,纵坐标不变.
对称: 关于x轴对称：横坐标不变,纵坐标改变；关于y轴对称：横坐标不变,纵坐标不变.
关于原点中心对称：横坐标、纵坐标都互为相反数.
旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.
名师导学互动
典例精析：
知识点1：建坐标系求点的坐标
例1、如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），那么黑棋①的坐标应该是___________.
【解题思路】只要我们能找出坐标系的原点，问题即可很快解决.由白棋②的坐标为（-7，-4），白棋④的坐标为（-6，-8），可得x轴正方向向右，y轴正方向向上，从④坐标开始向右平移3个，再向上平移1个即到黑棋①的位置，可得坐标（-3，-7）.
【解】（-3，-7）
【方法归纳】在同一个图形中，建立不同的坐标系，点的坐标也不同，但如果点的坐标知道了，那么坐标系也就确定了.在解题时，要根据题目特点建立适当的平面直角坐标系来描述物体的位置.
对应练习：如图，平行四边形的中心在原点，AD∥BC，D（3，2），C（1，-2），则其他点的坐标为_________________________．
答案：A（-1，2），B（-3，-2）
知识点2：对称变换
例2、在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；（2）直接写出三点的坐标：．
【解题思路】如图，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以，可求出相应点的坐标，之后再连线画出对称变换后的图形.
【解】（1）如上图；（2），，
【方法归纳】关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以；关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以；关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以.
对应练习：如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积．（2）在图中作出关于轴的对称图形．
（3）写出点的坐标．
答案：（1）（或7.5）（平方单位）；（2）如图（2）；（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）
知识点3：位似变换
例3如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
【解题思路】本题是一道在直角坐标系内画位似图形的试题，根据位似比为2∶1，可延长BO到B′，使OB′=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′C′，则△OB′C′即位所作的位似图形.进一步可以求到B′、C′点的坐标.
【解】（1）延长BO到B′，使B′O=2BO，延长CO到C′，使C′O=2CO，连结B′、C′.则△OB′C′即为△OBC的位似图形（如图）.（2）观察可知B′(-6,2)，C′(-4,-2).（3）M′(-2x．-2y).
【方法归纳】若以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍；
若以点O为位似中心在y轴的右侧将△OBC放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的倍.
对应练习：如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
答案：如图：
知识点4：根据已知点坐标求对称点坐标
例4、点A（-1，2）关于x轴的对称点坐标是__________；点A关于y轴的对称点坐标是__________；点A关于原点的对称点的坐标是____________.
【解题思路】本题考查关于x轴、y轴、原点对称点的坐标的特征，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数.
【解】（-1，-2） （1，2） （1，-2）
【方法归纳】根据已知点坐标求对称点坐标在中考题中出现的频率较高，有时会结合其他知识点来考查，但只要我们记住它的变化规律就不会出错了.规律为：关于什么轴对称，什么轴的坐标就不变；关于原点对称横坐标、纵坐标都要改变.
对应练习：M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(2,-1)
答案：C
知识点5：旋转变换
例5.如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称： 点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
【解题思路】本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.
【解】如图P2(1,-1)， P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).
【方法归纳】一般而言，对于这样的图形旋转及点的坐标的问题，通过画图来探究可以达到一目了然之效．
对应练习：如图，在一个的正方形DEFG网格中有一个．
（1）在网格中画出向下平移3个单位得到的；
（2）在网格中画出绕Ｃ点逆时针方向旋转得到的；
（3）若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出，两点的坐标．
解：（1）、（2）见图；（3），，
知识点6：确定图形变换后图形中点的坐标
例6、（1）请在如图所示的方格纸中，将向上平移格，再向右平移格，得，再将绕点按顺时针方向旋转，得，最后将以点为位似中心放大到倍，得；
（2）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为： 点（ ），点（ ），点（ ）．
【解题思路】本题求解的步骤为：首先按要求画出相应的图形，再建立适当的坐标系，最后观察坐标系中的各个图形中所求点的位置，即求出相应点的坐标．
【解】（1）小题的答案见上图；（2）小题的答案不唯一，略．
【方法归纳】本题是一道集平移、旋转、位似图形知识和直角坐标系知识为一体的考题，考察了综合利用所学知识求解问题的能力．
例7、如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1，1)，A(2，3)，B(4，2) ．
(1)以点T(1，1)为位似中心，按比例尺(TA∶TA)3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B，放大后点A,B的对应点分别为A，B．画出△TA′B，并写出点A′，B的坐标；
(2)在(1)中，若C(a，b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C 的坐标．
【解题思路】利用位似的方法将一个图形放大，从特殊到一般，探究、归纳位置变换后点的坐标的变化．也可利用相似的性质，进一步验证．
【解】(1)如图所示，点A，B的坐标分别为(4，7)，(10，4)；(2)变化后点C的对应点C′的坐标为．
【方法归纳】将图形放入平面直角坐标系里，通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，体现了形与数的统一，它是用代数方法研究图形的起始与基础．如果题目中“在位似中心的同侧”这一条件去掉,那么还要考虑两种情况.
对应练习：如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）
A.（2，2）,（3，4）,（1，7） B.（-2，2）,（4，3）,（1，7）
C.（-2，2）,（3，4）,（1，7） D.（2，-2）,（3，3）,（1，7）
答案：C.
知识点七：平移变换
例8、如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______.
【解题思路】平移时点的坐标变化规律是：左右平移，横变纵不变；上下平移，纵变横不变.点向上（右）移为加法，点向下（左）移为减法.
【解】由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴经过相同的平移后可得.
【方法归纳】平移时点的坐标变化规律：左右平移时：向左平移个单位，向右平移 个单位；上下平移时：向上平移个单位，向下平移 个单位.
对应练习：在平面直角坐标系内，把点P（－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（－2，2） B．（－1，1） C．（－3，1） D．（－2，0）
答案：B
课堂练习评测
考点1：旋转变换
1、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点2：平移变换
2、如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的△A′B′C′，如果图①中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图②中的对应点P′的坐标为（ ）
A．(a-2,b-3) B．(a-3,b-2) C．(a+3,b+2) D．(a+2,b+3)
3、如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4，2)，(-2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 .
考点3：对称变换
4、已知点P(5，a)与P′(b，-1)是关于原点的对称点，则a、b的值是（ ）.
A.a=1，b=5 B.a=1，b=-5 C.a=-1，b=5 D.a=-1，b=-5
考点4：位似变换
5、已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或B．或 C． D．
考点5：综合应用
6、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
7、在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．
课后作业练习
基础训练
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、点M（-5，y）向下平移5个单位的像关于x轴对称，则y的值是（ ）
A、-5 B、5 C、 D、－
2、在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移2个单位长度后的坐标为（ ）
A、（4，1） B、（0，1） C、（2，3） D、（2，-1）
3、观察图（1）与（2）中的两个三角形，可把（1）中的三角形的三个顶点，怎样变化就得到（2）中的三角形的三个顶点（ ）
A、每个点的横坐标加上2 B、每个点的纵坐标加上2
C、每个点的横坐标减去2 D、每个点的纵坐标减去2
4、如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5、在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A´，则点A与点A´的关系是（ ）
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于原点对称 D、将点A向x轴负方向平移一个单位得点A´
6、如图，一个机器人从Ｏ点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点．按如此规律走下去，当机器人走到点时，离Ｏ点的距离是（ ）
A、 10 B、 12 C、 15 D、 20
二、填空题：
7、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________.
8、如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知两点的坐标分别为，，若的坐标为，则的坐标为 ．
9、若B地在A地的南偏东500方向,5km处，则A地在B地的 方向 处.
10、已知点A（a，-3），B（4，b）关于y轴对称，则a-b= .
三、解答题：
11、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）；.
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则的坐标是________，的坐标是________．
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是________，的坐标是________．
12、在某河流的北岸有A、B两个村子，A村距河北岸的距离为1千米，B村距河北岸的距离为4千米，且两村相距5千米，现以河北岸为x轴，A村在y轴正半轴上（单位：千米）.
（1）请建立平面直角坐标系，并描出A、B两村的位置，写出其坐标.
（2）近几年，由于乱砍滥伐，生态环境受到破坏，A、B两村面临缺水的危险.两村商议，共同在河北岸修一个水泵站，分别向两村各铺一条水管，要使所用水管最短，水泵站应修在什么位置？在图中标出水泵站的位置，并求出所用水管的长度.
23.6.2图形的变换与坐标作业参考答案：
1、D
2、C
3、(5，4)
4、B
5、A
6、解：如下图所示，（4）对称中心是（0，0）
7、解：（1）①，； ②；
（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．，，，.
课后作业参考答案
一、选择题
CBBBB C
二、填空题：
7、-10；
8、（2，2）
9、北偏西500，5km；
10、-1；
三、解答题：
11、（1） （16，3），（32，0）； （2） （2n，3），（2n+1，0）；
12、（1）如图，点A（0，1），点B（4，4）；
（2）找A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则P点即为水泵站的位置， PA＋PB=PA′＋PB=A′B且最短（如上图）.过B、A′分别作x轴、y轴的垂线交于E，作AD⊥BE，垂足为D，则BD=3，
在Rt△ABD中,AD==4，所以A点坐标为（0，1），B点坐标为（4，4）；A′点坐标为（0，－1），由A′E=4，BE=5，在Rt△A′BE中，A′B==. 故所用水管最短长度为千米.点P所在位置
轴
轴
原点
点P的坐标
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