初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦第1课时导学案

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦第1课时导学案，共5页。

4．1 正弦和余弦


第1课时 正弦及30°角的正弦值


01 基础题


知识点1 正弦的意义


1．如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(C)





A.eq \f(AC,AB)


B.eq \f(AC,BC)


C.eq \f(BC,AB)


D.eq \f(BC,AC)


2．(贵阳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(D)


A.eq \f(5,12) B.eq \f(12,5) C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)


3．正方形网格中，△AOB如图放置，则sin∠AOB＝(C)





A.eq \f(3,2)


B.eq \f(2,3)


C.eq \f(3\r(13),13)


D.eq \f(2\r(13),13)


4．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA＝(A)


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,4)


5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝eq \f(2,3)，则边AC的长是(A)


A.eq \r(5) B．3


C.eq \f(4,3) D.eq \r(12)


6．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)


A．不变 B．缩小为原来的eq \f(1,3)


C．扩大为原来的3倍 D．不能确定


7．如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是eq \f(12,13)．





8．分别求出图中∠A、∠B的正弦值．





图1 图2


解：图1：AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(62－22)＝4eq \r(2)，


∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,3)，sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2\r(2),3).


图2：AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(（\r(2)）2＋（\r(6)）2)＝2eq \r(2)，


∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(6),2\r(2))＝eq \f(\r(3),2)，sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2).








知识点2 30°角的正弦值


9．计算：sin30°＝eq \f(1,2)．


10．计算：sin30°－|－2|＝－eq \f(3,2)．


11．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为eq \f(1,2)．





12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA＝eq \f(1,2)．


02 中档题


13．在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是(C)


A.eq \f(1,2) B．2


C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)


14．(乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中不正确的是(C)


A．sinB＝eq \f(AD,AB) B．sinB＝eq \f(AC,BC)


C．sinB＝eq \f(AD,AC) D．sinB＝eq \f(CD,AC)








15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝eq \r(15)，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D，垂足为E，则sin∠CAD＝(A)


A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)


C.eq \f(\r(15),4) D.eq \f(\r(15),15)





16．(威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(D)


A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(1,2)


C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(10),10)





17．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是40米．





18．如图，在▱ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝eq \f(3,4)，求▱ABCD的面积．





解：∵AD⊥BD，


∴在Rt△ABD中，sinA＝eq \f(3,4)＝eq \f(BD,AB).


∵AB＝4，∴BD＝3.


由勾股定理，得AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，


∴S▱ABCD＝AD·DB＝eq \r(7)×3＝3eq \r(7).





19．如图，等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，求它的底边长．





解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝∠CAD＝60°，BD＝DC.


∵AD⊥BC，


∴∠B＝30°.


∴sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2).


∵AB＝2，


∴AD＝1，BD＝eq \r(3).


∴BC＝2eq \r(3).





20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．





解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3，


∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5.


根据同角的余角相等，得∠ACD＝∠B.


∴sin∠ACD＝sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,5).





03 综合题


21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，请你根据正弦的定义证明sin2A＋sin2B＝1.


证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，


∴a2＋b2＝c2，sinA＝eq \f(a,c)，sinB＝eq \f(b,c).


∴sin2A＋sin2B＝(eq \f(a,c))2＋(eq \f(b,c))2＝eq \f(a2＋b2,c2)＝1，


即sin2A＋sin2B＝1.