中考数学最值问题（教师版 含解析）

和长度有关的最值未命名  一、单选题1．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，∵，，∴∵，∴∵点O是AB的三等分点，∴，，∴，∵⊙O与AC相切于点D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，,∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.  二、填空题2．如图，已知矩形，点在边上，连接将沿翻折，得到，且点是中点，取中点，点为线段上一动点，连接，，若长为2，则的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，由轴对称的性质可得PN+PM=PN'+PM，依据当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长，即可得到PM+PN的最小值为2．【详解】如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，
由折叠可得，BE平分∠ABM，AB=MB，
∴点N'在AB上，
又∵N是BM的中点，
∴N'是AB的中点，
由轴对称的性质可得PN=PN'，
∴PN+PM=PN'+PM，
∴当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长，
又∵四边形ABCD是矩形，M是CD的中点，
∴四边形ADMN'是矩形，
∴MN'=AD=2，
∴PM+PN的最小值为2，
故答案为：2．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，由直角三角形的性质和勾股定理可求BC的长，由面积法可求AH的长，可证点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，可得EF=2•OE•cos30°，当⊙O的直径最小时，EF的长最小，即可求解．【详解】如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，∴AG=，BG=AG=，∵AC=8，AG=，∴GC=，∴BC===7，∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BG，∴AH=，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠AED+∠AFD=180°，∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，∴∠EOF=120°，∴EF=2•OE•cos30°，∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，∴AD与AH重合时，EF最小，∴EF最小值为【点睛】本题考查圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．4．如图，在等腰直角三角形中，，，为中点，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：∵等边三角形BDG，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE（SAS）∴BF=GE当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′∴BF=GE= CD+DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.5．如图，，是上的一点，，点为上的一动点，点为上的一动点，则的最小值为 ________，当的值取最小值时，则的面积为________.【答案】2        【解析】【分析】作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，则CD’=，故当CD’⊥OD’时，CD’最小，根据得到∠BOD’=60°，根据OC=4，利用三角函数即可求出此时的CD’；作PH⊥BO，根据角平分线的性质得到DP’=PH，根据Rt△OPD’求出D’P，再根据三角形的面积公式即可求出的面积.【详解】作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，故当CD’⊥OD’时，CD’最小，如图，∵∴∠BOD’=60°，∵OC=4，∴CD’=OCsin60°=4×=2，故的最小值为2；过PH⊥OC，∵OP平分∠COD’∴PH=D’P∵OD’=OCcos60°=4×=2，∴DP’=OD’tan30°=2×=故PH=∴此时S△OPC=OC×PH=×4×=故答案为：2；.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意找到最小值时的特点，再利用解直角三角形进行求解.6．如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，点P、E、F分别为边BC、AB、AC上的任意点，则PE+PF的最小值是_____．【答案】 【解析】【分析】当PE⊥AB，PF⊥AC时，PE+PF的值最小.【详解】解：如图，作CG⊥AB于G，PH⊥CG于H，当PE⊥AB，PF⊥AC时，则∠EGH=GHP=∠PEG=90°，∴四边形PEGH为矩形，∴PE=HG，PH∥AB，∴∠B=∠HPC，∵AB=AC，∴∠B=∠FCP，∴∠HPC=∠FCP，∵∠PHC=∠CFP=90°，PC=CP，∴△PHC≌△CFP(AAS)，∴CH=PF∴PE＋PF=HG+CH=CG，故此时PE+PF将取得最小值.在Rt△ACG中，∵AC=4，∴CG2=AC2-AG2=42-AG2，在Rt△BCG中，∵BC=2，BG=AB-AG=4-AG，∴CG2=BC2-BG2=22-(4-AG)2，∴42-AG2=22-(4-AG)2，∴AG=，∴CG===，∴PE+PF=，即PE+PF的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，找到当PE⊥AB，PF⊥AC时，PE+PF的值最小是解题的关键.7．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），点C（m，6）为反比例函数y＝图象上一点，将△AOB绕B点旋转得到△A'O'B'（设旋转角为α，0°＜α＜360°），则点C到直线A'O'距离的最大值为_____．【答案】2+．【解析】【分析】如图，连接BC，利用待定系数法求出点C的坐标，观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大．【详解】解：如图，连接BC，∵点C（m，6）在y＝上，∴6m＝18，∴m＝3，∴C（3，6），∵B（2，0），∴BC＝＝，OB＝2，观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大，最大值为2+．故答案为2+．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题8．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【解析】【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2即可．【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．【答案】（1）见解析；（2）DF=2；（3）5【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，以及最短路径的解法是解题的关键．10．如图，半径为1的与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点.(1)求二次函数的解析式.(2)经过坐标原点的直线与相切，求直线的解析式.(3)试问在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)或；(3)存在，.【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数表达式，解出b，c的值即可；（2）设直线与相切于点，求出OE的长，过点作轴于点，可得比例式，可求出EH的长度，从而求出OH，即点E坐标，可得l的解析式，再根据两条直线关于x轴对称可得另一条直线的表达式；（3）利用轴对称的应用，当△PMD的周长取最小值时，求出M点的坐标，设直线的解析式为，根据点B的坐标求出BM解析式，得到点D坐标，可知点D与点C坐标关于x轴对称，连接，设直线的解析式为，将C，M的坐标代入，则CM与x轴交点即为点P的坐标.【详解】解：(1)由题意可知，二次函数的图象经过两点，，解得，二次函数的解析式(2)如图，设直线与相切于点，过点作轴于点，，，的解析式为，根据对称性，满足条件的另一条直线的解析式为，所求直线的解析式为：或.(3)存在理由：为二次函数的顶点，，，设直线的解析式为，点坐标为，，解得，直线的解析式为，直线与轴交于点，点坐标为，点与关于轴对称，连接，设直线的解析式为，把代入得，，解得，，直线与轴的交点为，.【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数、二次函数表达式，切线的性质，相似三角形的判定和性质，利用轴对称求线段的最大值，综合性较强，解题时要理解题意，根据题意适当添加辅助线求坐标，将三角形周长转化为线段最值.