高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十四) 函数的概念


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )


A.eq \f(1,a) B．eq \f(3,a)


C．a D．3a


D [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝3a，故选D.]


2．下列表示y关于x的函数的是( )


A．y＝x2 B．y2＝x


C．|y|＝x D．|y|＝|x|


A [结合函数的定义可知A正确，选A.]


3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )


A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}


C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}


A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]


4．函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是( )


A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)


C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)


D [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，


故函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D.]


5．下列四组函数中表示同一函数的是( )


A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2


B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2


C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝|x|


D．f(x)＝0，g(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)


C [∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(eq \r(x))2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝eq \r(x2)＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]


二、填空题


6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) [由题意知3a－1>a，则a>eq \f(1,2).]


7．已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.


－eq \f(5,6) [由f(t)＝6，得eq \f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq \f(5,6).]


8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．


(0,2) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1

解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]


三、解答题


9．求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4；


(2)f(x)＝eq \f(x＋30,\r(|x|－x)).


[解] (1)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))所以eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)，


即函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).


(2)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,x<0.))所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．


10．已知f(x)＝x2－4x＋2.


(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；


(2)求f(x)的值域；


(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．


[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，


f(a)＝a2－4a＋2，


f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.


(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，


∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．


(3)g(3)＝3＋1＝4，


∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.





11．(多选题)下列函数满足f(2x)＝2f(x)的是( )


A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|


C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝－x


ABD [对于A.f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．]


12．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有( )


A．6个 B．8个


C．9个 D．10个


C [因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，


所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]


13．若函数y＝eq \f(kx＋1,k2x2＋3kx＋1)的定义域为R，则实数k的值为________．


0 [函数y＝eq \f(kx＋1,k2x2＋3kx＋1)的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．


由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．


当k＝0时，函数y＝eq \f(kx＋1,k2x2＋3kx＋1)＝1，函数的定义域为R，


因此k＝0符合题意；


当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2＜0，不等式不成立．所以实数k的值为0.]


14．(一题两空)函数f(x)，g(x)分别由下表给出．





则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．


1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.


当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，


f(g(x))

当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，


f(g(x))>g(f(x))，符合题意；


当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，


f(g(x))




15．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).


(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；


(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值．


[解] ∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，


∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝1.


f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2))＝1.


(2)证明：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.


x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1