人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案，共8页。

1.4 充分条件与必要条件








观察如图所示电路图，条件p：“开关A闭合”，结论q：“灯泡B亮”．





问题：(1)当开关A闭合时，灯泡B一定会亮吗？说明了什么？


(2)如果“灯泡B”不亮，“开关A可以闭合”吗？


提示：(1)一定会亮，说明要使“灯泡B亮”，有“开关A闭合”这个条件就可以．


(2)如果“灯泡B不亮”，则开关A肯定不闭合．





1．充分条件与必要条件


思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？


(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？


提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．


2．充要条件


(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．


概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．


(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．


(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．


(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．


思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？


(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？


提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.


(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．


②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )


(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )


(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]


3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．既是充分条件，也是必要条件


D．既不充分也不必要条件


C [“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同位角相等”都是真命题．]


4．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的________条件．


必要不充分 [全等的两个三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等．]





【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．


(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．


(3)p：a＞b，q：ac＞bc.


[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，


故p是q的既不充分也不必要条件．





定义法判断充分条件、必要条件


1确定谁是条件，谁是结论.


2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.


3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.





eq \([跟进训练])


1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．


(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．


(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.


[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，


所以p是q的既不充分也不必要条件．


(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．


[探究问题]


1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？


提示：若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA.


2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？


提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．


【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．


[思路点拨]


{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.


即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.


所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]





1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．


[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.


则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0

即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．


2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4

[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，


即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．





利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围


1化简p，q两命题；


2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；


3利用集合间的关系建立不等式；


4求解参数范围.








【例3】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.


[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．


[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.


②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.





充要条件的证明策略


1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.


2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.


提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.





eq \([跟进训练])


2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.


[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，


q：a＋b＋c＝0.


①证明p⇒q，即证明必要性．


∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，


∴a·12＋b·1＋c＝0，


即a＋b＋c＝0.


②证明q⇒p，即证明充分性．


由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.


∵ax2＋bx＋c＝0，


∴ax2＋bx－a－b＝0，


即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.


故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.


∴x＝1是方程的一个根．


故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.








1．理解3个概念


(1)充分条件；(2)必要条件；(3)充要条件．


2．掌握3种方法——充分条件、必要条件、充要条件的判断方法


(1)定义法：直接利用定义进行判断．


(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．


(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．


3．规避2个易错


(1)充分条件、必要条件不唯一；


(2)求参数范围时，要注意能否取到端点值．





1．“x>0”是“x≠0”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充分必要条件


D．既不充分也不必要条件


A [由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]


2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )


A．充分必要条件 B．充分不必要条件


C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件


C [因为{x|－1＜x＜3}{x|x＜3}，所以p是q成立的必要不充分条件．]


3．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝eq \r(2－x)”，则p是q的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


C [由q：“x－2＝eq \r(2－x)”，解得x＝1(舍去)或x＝2，


由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．


所以p是q的充分必要条件．]


4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．


m＝－2 [函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq \f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]


5．已知p：实数x满足3a

[解] 由p：3a

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．


因为p⇒q，所以A⊆B，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0，


所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤a<0)))).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)


2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)


3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．


2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件


q是p的必要条件
p不是q的充分条件


q不是p的必要条件
充分条件、必要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的应用
充要条件的探求与证明