人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第1课时导学案及答案

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2.1 等式性质与不等式性质


第1课时 不等关系与不等式











如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：





其含义分别为：


①最低限速：限制行驶时速v不得低于50 km/h；


②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；


③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；


④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.


问题：你能用数学式子表示上述关系吗？


提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3.





1．不等关系


不等关系常用不等式来表示．


2．实数a，b的大小比较


3.重要不等式


一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )


(2)若a

(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )


[提示] (1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．


(2)正确．不等式a≤b表示a

(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )


A．v≤120 km/h且d≥10 m


B．v≤120 km/h或d≥10 m


C．v≤120 km/h


D．d≥10 m


A [v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]


3．a与b的和是非负实数，可用不等式表示为________．


a＋b≥0 [因为a与b的和是非负实数，所以a＋b≥0.]


4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．


M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，


∴M＞N.]








【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．


[解] 设复兴号列车速度为v1，


民航飞机速度为v2，


普通客车速度为v3.


v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，


v1，v3的关系：v1＞3v3.





在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一.





eq \([跟进训练])


1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．


[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0

这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))(m)．


因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))，


依题意有S≥216，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥216，


故该题中的不等关系可用不等式组表示为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．


[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)


＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．


∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，


∴(3x2＋1)(x－1)≤0，


∴3x3≤3x2－x＋1.





作差法比较两个实数大小的基本步骤：








eq \([跟进训练])


2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．


[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)


＝x2＋x＋1


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4).


∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0.


∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，


∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.





【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．


[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，


则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx.


所以y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx


＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5)))，


当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.


因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．





解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．





eq \([跟进训练])


3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？


[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则


y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.


y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a


＝0.2a(1.25－x)，


当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；


当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．


因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠.








1．记牢3个知识点


(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)．


(2)比较大小．


(3)重要不等式．


2．掌握1种方法——作差法比较大小


(1)比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．


a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

(2)作差法比较大小的一般步骤


第一步：作差；


第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；


第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；


最后得结论．


概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．





1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒eq \f(1,2)厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )


A．4×2x≥100 B．4×2x≤100


C．4×2x＞100 D．4×2x＜100


C [当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)米，为了保证安全，有4×2x＞100.]


2．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．


> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]


3．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________．


eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) [eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0.


∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).]


4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．


10y＋x＞70 [该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x＞70.]


5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．


[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000，


即5x＋4y≤200.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)


2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．


2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
用不等式(组)表示不等关系
比较两数(式)的大小
不等关系的实际应用