高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案设计

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第2课时 一元二次不等式的应用








汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．





在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.


问题：如何判断甲、乙两车是否超速？


提示：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，


解得x＞30或x＜－40(不符合实际意义，舍去)．


这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.


对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，


即x2＋10x－2 000＞0，


解得x＞40或x＜－50(不符合实际意义，舍去)．


这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．





1．分式不等式的解法


主导思想：化分式不等式为整式不等式


思考1：eq \f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将eq \f(x－3,x＋2)>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？


提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．


2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件


(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法


3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤


(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．


(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．


(3)解不等式(或求函数最值)．


(4)回归实际问题．


思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？


提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)不等式eq \f(1,x)>1的解集为x<1.( )


(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．( )


[提示] (1)eq \f(1,x)>1⇒eq \f(1,x)－1>0⇒eq \f(x－1,x)<0⇒{x|0

(2)m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为m大于y＝ax2＋bx＋c的最大值，故(2)错．


[答案] (1)× (2)×


2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B等于( )


A．{x|－1≤x<0} B．{x|0

C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}


B [∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0

3．不等式eq \f(x＋1,x)≥5的解集是________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

4．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h＝v0t－eq \f(1,2)gt2，其中g≈10 m/s2.一名同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留的时间为________s．(精确到0.01 s)


2.04 [依题意得12t－eq \f(1,2)×10t2＞2，即5t2－12t＋2＜0，


解得eq \f(12－\r(104),10)＜t＜eq \f(12＋\r(104),10).


∴eq \f(12＋\r(104),10)－eq \f(12－\r(104),10)＝eq \f(\r(104),5)≈2.04.]








【例1】 解下列不等式：


(1)eq \f(x－3,x＋2)<0；


(2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.


[解] (1)eq \f(x－3,x＋2)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2

∴原不等式的解集为{x|－2

(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，


∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，


解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).





1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．


2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．





eq \([跟进训练])


1．解下列不等式：(1)eq \f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq \f(5x＋1,x＋1)<3.


[解] (1)根据商的符号法则，不等式eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))


解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.


即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．


(2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0，


即eq \f(2x－1,x＋1)<0.


可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，


解得－1

所以原不等式的解集为{x|－1




【例2】 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？


[解] 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得


－20x2＋2 200x＞60 000.


移项整理，得


x2－110x＋3 000＜0.


对于方程x2－110x＋3 000＝0，Δ＝100＞0，方程有两个实数根x1＝50，x2＝60.


画出二次函数y＝x2－110x＋3 000的图象如图所示，结合图象得不等式x2－110x＋3 000＜0的解集为{x|50＜x＜60}，从而原不等式的解集为{x|50＜x＜60}．





因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60 000元以上的收益．





求解一元二次不等式应用问题的步骤








eq \([跟进训练])


2．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.


[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．


y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%


＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0

依题意，得y≥2 400m×8%×78%，


即－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，


整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.


根据x的实际意义，知x的范围为0

[探究问题]


1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，y>0恒成立，如何求实数a的取值范围？


提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq \f(1,2).


2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？


提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－32＋3a－3＜0，,－12＋a－3＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋6<0，,a－2<0，))解得a<－2.


故当a＜－2时，有y<0在－3≤x≤－1上恒成立．


3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？


提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.


要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋x2－4x＋4＜0，,－3×2x＋x2－4x＋4＜0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0.))


因为x2－2x＋4<0的解集是空集，


所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．


【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．


[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．


[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，则


(1)当对称轴x＝－eq \f(a,2)<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤eq \f(7,3)，与a>4矛盾，不符合题意．


(2)当－2≤－eq \f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－eq \f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.


(3)当－eq \f(a,2)>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.


综上，a的取值范围为－7≤a≤2.





1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．


[解] 若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：


当－2≤x≤2时，y最小值≥2


⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)<－2，,y最小值＝－22－2a＋3－a＝7－3a≥2，))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤－\f(a,2)≤2，,y最小值＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＋3－a,＝3－a－\f(a2,4)≥2，))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)>2，,y最小值＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，))


解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2eq \r(2).


2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．


[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，


∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，


∴Δ＝4－4(a2－3)<0，


解得a>2或a<－2.


法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足y最小值＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.


法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，


即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.





1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；


当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))


2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；


当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))


3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．











1．掌握3类问题的解法


(1)简单的分式不等式的解法





(2)恒成立问题


对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．


(3)利用不等式解决实际问题


利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：


①选取合适的字母表示题目中的未知数；


②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；


③求解所列出的不等式(组)；


④结合题目的实际意义确定答案．


2．规避3个易错


(1)解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．


(2)在某集合A中恒成立问题


设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)


若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围)．


(3)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．





1．不等式eq \f(3,x＋1)≥1的解集是( )


A．{x|x＜－1或－1＜x≤2}


B．{x|－1≤x≤2}


C．{x|x≤2}


D．{x|－1＜x≤2}


D [∵eq \f(3,x＋1)≥1，∴eq \f(3,x＋1)－1≥0，


即eq \f(3－x＋1,x＋1)＝eq \f(2－x,x＋1)≥0，


∴eq \f(x－2,x＋1)≤0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2x＋1≤0，,x＋1≠0.))


解之得－1＜x≤2，故不等式的解集为{x|－1＜x≤2}．]


2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．


a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]


3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．


－2＜a≤2 [当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立；


当a－2≠0，即a≠2时，则有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＜0，,Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4＜0，))


解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.]


4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．





{x|10≤x≤30} [设矩形宽为y，由三角形相似得：eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]


5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？


[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]元，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.


所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)


2.理解三个“二次”之间的关系.


3.会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.


2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
类型
同解不等式
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)


(其中a，b，c，d为常数)
法一：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))


法二：


(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
eq \f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)
法一：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))


法二：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))
eq \f(ax＋b,cx＋d)＞k


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(先移项通分转化为上述两种形式
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
分式不等式的解法
一元二次不等式的应用
不等式恒成立问题