高中人教A版 (2019)3.3 幂函数导学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.3 幂函数导学案，共8页。

3.3 幂函数








给出下列五个问题：


①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．


②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．


③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．


④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝Seq \s\up24(eq \f(1,2))，这里a是S的函数．


⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1m/s，这里v是t的函数．


问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？


(2)判断一个函数是幂函数的依据是什么？


提示：(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，⑤y＝x－1.


(2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式．





1．幂函数的概念


一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．


2．幂函数的图象


在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：





3．幂函数的性质





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( )


(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )


(3)当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．( )


(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．


( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．下列函数中不是幂函数的是( )


A．y＝eq \r(x) B．y＝x3


C．y＝3x D．y＝x－1


C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]


3．已知f(x)＝(m＋1)xeq \s\up12(m2＋2)是幂函数，则m＝( )


A．2 B．1


C．3 D．0


D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]


4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________.


eq \f(1,2) [由f(2)＝eq \f(\r(2),2)可知2α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝－eq \f(1,2)，


∴f(4)＝4eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,2).]








【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up5(m2－1)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．


[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).





判断一个函数是否为幂函数的方法


判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.





eq \([跟进训练])


1．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


B [∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；


y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；


y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；


y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．]





【例2】 (教材P91练习T1改编)点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：


(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.


∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，∴α＝2，β＝－1，


∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，


(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；


(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；


(3)当x∈(0,1)时，f(x)







解决幂函数图象问题应把握的两个原则


1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.


2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))或y＝x3来判断.





eq \([跟进训练])


2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )





A．d>c>b>a


B．a>b>c>d


C．d>c>a>b


D．a>b>d>c


(2)函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )





A B C D


(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．


在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.


(2)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象向下平移1个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]





[探究问题]


1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？


提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．


2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？


提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.


【例3】 比较下列各组中幂值的大小：


(1)0.213,0.233；(2)1.2eq \s\up12(eq \f(1,2))，0.9eq \s\up12(－eq \f(1,2))，eq \r(1.1).


[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解．


[解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，


∴0.213<0.233.


(2)0.9eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))eq \s\up12(eq \f(1,2))，eq \r(1.1)＝1.1eq \s\up12(eq \f(1,2)).


∵1.2>eq \f(10,9)>1.1，且y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，


∴1.2eq \s\up12(eq \f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))eq \s\up12(eq \f(1,2))>1.1eq \s\up12(eq \f(1,2))，即1.2eq \s\up12(eq \f(1,2))>0.9eq \s\up12(－eq \f(1,2))>eq \r(1.1).





把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：


(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5)；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).


[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，


又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5.)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5.)


(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，


又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).





比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.











1．理解1个概念——幂函数的概念


判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．


2．掌握1个规律——幂函数图象的变化规律


幂函数在第一象限内指数变化规律


在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小．


3．会用3个性质——幂函数的性质


(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.


(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．


(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．





1．幂函数的图象过点(2，eq \r(2))，则该幂函数的解析式是( )


A．y＝x－1 B．y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))


C．y＝x2 D．y＝x3


B [设f(x)＝xα，则2α＝eq \r(2)，


∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2)).


选B.]


2．函数y＝xeq \s\up12(eq \f(5,4))的图象是( )





A B C D


C [∵函数y＝xeq \s\up12(eq \f(5,4))是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又eq \f(5,4)>1，故选C.]


3．已知函数f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up12(eq \f(1,a－2))为幂函数，则实数a的值为( )


A．－1或2 B．－2或1


C．－1 D．1


C [因为f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up12(eq \f(1,a－2))为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.]


4．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．


－eq \f(1,8) [因为函数y＝x－3＝eq \f(1,x3)在(－∞，0)上单调递减，


所以当x＝－2时，y最小值＝(－2)－3＝eq \f(1,－23)＝－eq \f(1,8).]


5．比较下列各组数的大小：


(1)3eq \s\up12(－eq \f(5,2))与3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2))；


(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))，3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))，(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5)).


[解] (1)因为函数y＝xeq \s\up12(－eq \f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，


又3<3.1，所以3eq \s\up12(－eq \f(5,2))>3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2)).


(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))>1eq \s\up12(eq \f(2,5))＝1,0<3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))<1eq \s\up12(－eq \f(2,3))＝1，而(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5)) <0，所以4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))>3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))>(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5)).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)


2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)


3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．


2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)时，增函数


x∈(－∞，0]时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)时，减函数


x∈(－∞，0)时，减函数
幂函数的概念
幂函数的图象及应用
幂函数性质的综合应用