人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第2课时学案及答案

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第2课时 对数函数及其性质的应用








【例1】 比较下列各组值的大小：


(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；


(2)lgeq \s\d5(eq \f(1,3))2与lgeq \s\d5(eq \f(1,5))2；


(3)lg23与lg54.


[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq \f(3,4)

法二(中间值法)：因为lg5eq \f(3,4)<0，lg5eq \f(4,3)>0，


所以lg5eq \f(3,4)

(2)法一(单调性法)：由于lgeq \s\d5(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,lg2\f(1,3))，lgeq \s\d5(eq \f(1,5))2＝eq \f(1,lg2\f(1,5))，


又因对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，


且eq \f(1,3)>eq \f(1,5)，所以0>lg2eq \f(1,3)>lg2eq \f(1,5)，


所以eq \f(1,lg2\f(1,3))

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,3))x及y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,5))x的图象，由图易知：lgeq \s\d5(eq \f(1,3))2




(3)取中间值1，


因为lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，


所以lg23>lg54.





比较对数值大小的常用方法


1同底数的利用对数函数的单调性.


2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.


3底数和真数都不同，找中间量.


提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小





eq \([跟进训练])


1．比较下列各组值的大小：


(1)lgeq \s\d5(eq \f(2,3))0.5，lgeq \s\d5(eq \f(2,3))0.6；


(2)lg1.51.6，lg1.51.4；


(3)lg0.57，lg0.67；


(4)lg3π，lg20.8.


[解] (1)因为函数y＝lgeq \s\d5(eq \f(2,3))x是减函数，且0.5<0.6，所以lgeq \s\d5(eq \f(2,3))0.5>lgeq \s\d5(eq \f(2,3))0.6.


(2)因为函数y＝lg1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以lg1.51.6>


(3)因为0>lg70.6>lg70.5，


所以eq \f(1,lg70.6)

(4)因为lg3π>lg31＝0，lg20.8lg20.8.





【例2】 已知函数f(x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．


(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；


(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．


[思路点拨] (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．


(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．


[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．


(2)不等式f(x)≤g(x)，即为lga(x－1)≤lga(6－2x)，


①当a＞1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1

解得1

②当0＜a＜1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1

解得eq \f(7,3)≤x<3.


综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,3)))；


当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，3)).





常见的对数不等式的三种类型


1形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；


2形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解；


3形如lgax＞lgbx的不等式，可利用图象求解.





eq \([跟进训练])


2．(1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；


(2)已知lg0.7(2x)

[解] (1)由lgaeq \f(1,2)>1得lgaeq \f(1,2)>lgaa.


①当a>1时，有a

②当0

所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).


(2)因为函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，


所以由lg0.7(2x)0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.


即x的取值范围是(1，＋∞)．





[探究问题]


1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (2x－1)的单调性吗？


提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (2x－1)由函数y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2))t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>eq \f(1,2)，结合“同增异减”可知，


y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (2x－1)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


2．如何求形如y＝lgaf(x)的值域？


提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0

【例3】 (1)已知y＝lga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )


A．(0,1) B．(1,2)


C．(0,2) D．[2，＋∞)


(2)函数f(x)＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (x2＋2x＋3)的值域是________．


[思路点拨] (1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．


(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．


(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f(x)＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＞f1，,a>1，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga2＞lga2－a，,a>1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.


(2)f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)＝lgeq \f(1,2)[(x＋1)2＋2]，


因为(x＋1)2＋2≥2，


所以lgeq \f(1,2) [(x＋1)2＋2]≤lgeq \s\d5(eq \f(1,2))2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]





1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．


[解] ∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，


∴lgeq \s\d5(eq \f(1,2))6≤lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (x2＋2x＋3)≤lgeq \s\d5(eq \f(1,2))2，


即－lg26≤f(x)≤－1，


∴f(x)的值域为[－lg26，－1]．


2．求本例(2)的单调区间．


[解] ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，


又y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2))t在(0，＋∞)为减函数，


且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．





1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．


2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．











1．掌握2种方法


(1)比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0

(2)解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．


2．规避1个易错


求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．





1．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )


A．a>c>b B．b>c>a


C．c>b>a D．c>a>b


D [a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质可知lg52

2．函数y＝2＋lg2x(x≥2)的值域为( )


A．(3，＋∞) B．(－∞，3)


C．[3，＋∞) D．(－∞，3]


C [因为x≥2，所以lg2x≥1，所以y≥3.]


3．函数y＝lg |x|是( )


A．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增


B．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减


C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增


D．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减


B [易知函数y＝lg|x|是偶函数．当x>0时，y＝lg|x|＝lg x，所以在区间(0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质知，函数在区间(－∞，0)上单调递减．]


4．函数f(x)＝lg2(1＋2x)的单调增区间是______．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) [易知函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))，又因为函数y＝lg2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).]


5．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.


(1)求实数a的取值范围；


(2)求不等式lga(3x＋1)

(3)若函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．


[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．


(2)由(1)得，0＜a＜1，∵lga(3x＋1)

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq \f(3,4)

即不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(7,5))).


(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即lga5＝－2，∴a－2＝eq \f(1,a2)＝5，解得a＝eq \f(\r(5),5).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)


2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)
1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．


2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.
比较对数值的大小
解对数不等式
对数函数性质的综合应用