高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案及答案

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4.5 函数的应用(二)


4.5.1 函数的零点与方程的解








路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？





(1) (2)


将这个实际问题抽象成数学模型．


问题：如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？





提示：只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识．





1．函数的零点


对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．


思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？


提示：不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．


2．方程、函数、函数图象之间的关系


方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．


3．函数零点存在定理


如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)