高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计，共8页。

4.5.2 用二分法求方程的近似解








在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．





问题：你知道他是如何做到的吗？


提示：利用二分法．





1．二分法的定义


对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．


思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？


提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．


2．二分法求函数零点近似值的步骤


(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.


(2)求区间(a，b)的中点c.


(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：


①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；


②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；


③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.


(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )


(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )


(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )


A．[－2,1] B．[－1,0]


C．[0,1] D．[1,2]


A [∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]


3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．





x3 [因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]


4．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．


(0,0.5) f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]








【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )





A．4,4 B．3,4


C．5,4 D．4,3


D [图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]





判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.





eq \([跟进训练])


1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )





A B C D


B [二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]





[探究问题]


1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？


提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．


2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？


提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．


【例2】 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度为0.01)．


[思路点拨] eq \x(确定初始区间)eq \(――――→,\s\up7(二分法))eq \x(定新的有解区间)eq \(――――――→,\s\up7(检验精确度ε))eq \x(得零点近似值)


[解] 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，


且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，


所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：


由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.





1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．


[解] 因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：


由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.


2．若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度为0.1)


[解] 确定一个包含正数零点的区间(m，n)，


且f(m)·f(n)<0.


因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，


所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，


用二分法逐步计算，列表如下：


由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数


零点的近似值可取为1.687 5.





利用二分法求方程近似解的过程图示














1．掌握2个知识点


(1)二分法的定义．


(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．


2．学会2种方法——化归思想、逼近思想


(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点．


(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用．


3．规避1个误区


并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：


(1)在区间[a，b]上连续不断；


(2)f(a)·f(b)<0，


上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．





1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )


A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到


B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点


C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点


D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解


D [二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]


2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))>0，则( )


A．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))上有零点


B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上有零点


C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))上无零点


D．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上无零点


B [由f(a)f(b)<0，f(a)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))>0可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上有零点．]


3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )


A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001


C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001


B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]


4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．


(2,3) [因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]


5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：


由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．


[解] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)


2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)


3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.
二分法的概念
用二分法求函数零点的近似值
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝eq \f(－1－2,2)＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝eq \f(－1.5－2,2)＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝eq \f(－1.75－2,2)＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝eq \f(－1.875－2,2)＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
x4＝eq \f(－1.875－1.937 5,2)＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，－1.906 25)
x5＝eq \f(－1.937 5－1.906 25,2)＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝eq \f(－1.937 5－1.921 875,2)＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝eq \f(－1－2,2)＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝eq \f(－1.5－2,2)＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝eq \f(－1.75－2,2)＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝eq \f(－1.875－2,2)＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0
(1,2)
x1＝eq \f(1＋2,2)＝1.5
f(1.5)＝－2.625<0
(1.5,2)
x2＝eq \f(1.5＋2,2)＝1.75
f(1.75)≈0.234 4>0
(1.5,1.75)
x3＝eq \f(1.5＋1.75,2)＝1.625
f(1.625)≈－1.302 7<0
(1.625,1.75)
x4＝eq \f(1.625＋1.75,2)＝1.687 5
f(1.687 5)≈－0.561 8<0
(1.687 5,1.75)
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9