人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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5.4 三角函数的图象与性质


5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象








如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．





问题：通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？


提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线．





1．正弦曲线


正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．





2．正弦函数图象的画法


(1)几何法：


①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；


②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．


(2)五点法：


①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；


②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．


3．余弦曲线


余弦函数y＝cs x，x∈R的图象叫余弦曲线．





4．余弦函数图象的画法


(1)要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．


(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．


思考：y＝cs x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？


提示：因为cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位可得y＝cs x(x∈R)的图象．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )


(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．( )


(3)余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( )


[提示] 由y＝sin x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；


由y＝cs x(x∈R)图象可知(3)错误．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．函数y＝cs x与函数y＝－cs x的图象( )


A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称


C．关于x轴对称 D．关于y轴对称


C [由解析式可知y＝cs x的图象过点(a，b)，则y＝－cs x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]


3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．


① ；② ；③ .


π 0 1 [用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]


4．函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点有 个．


2 [由图象可知：函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)有两个交点．]








【例1】 (1)下列叙述正确的是( )


①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；


②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；


③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．


A．0 B．1个


C．2个 D．3个


(2)函数y＝sin|x|的图象是( )





(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．


(2)y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x＜0，))


结合选项可知选B.]





1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．


2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．


3．正、余弦曲线的对称性


提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.





eq \([跟进训练])


1．关于三角函数的图象，有下列说法：


①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；


②y＝cs(－x)与y＝cs |x|的图象相同；


③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；


④y＝cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．


其中正确的序号是 ．


②④ [对②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs |x|＝cs x，故其图象相同；


对④，y＝cs(－x)＝cs x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]





【例2】 (教材P199例1改编)用“五点法”作出下列函数的简图．


(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；


(2)y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)．


[思路点拨] eq \x(列表：让x的值依次取0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π)→eq \x(描点)→eq \x(用平滑曲线连接)


[解] (1)①取值列表如下：


②描点连线，如图所示.





(2)①取值列表如下：


②描点连线，如图所示．








用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acs x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤


(1)列表：


(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．


(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acs x＋b)(A≠0)的图象．


提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．





eq \([跟进训练])


2．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的图象．


[解] 取值列表如下：


描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)








[探究问题]


1．方程sin x＝x的实根个数有多少个？


提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.


2．函数f(x)＝eq \r(x)－cs x在[0，＋∞)内有多少个零点？


提示：令f(x)＝0，所以eq \r(x)＝cs x，分别作出y＝eq \r(x)，y＝cs x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．


【例3】 (1)函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为 ．


(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．


[思路点拨] (1)eq \x(列出不等式)→eq \x(画出函数图象)→eq \x(写出解集)


(2)eq \x(画出y＝sin x和y＝lg x的图象)→eq \x(找准关键点10，1)


→


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))) [由2sin x－1≥0得sin x≥eq \f(1,2)，


画出y＝sin x的图象和直线y＝eq \f(1,2).





可知sin x≥eq \f(1,2)的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).]


(2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．


描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．





由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．]





1．本例(1)中的“sin x”改为“cs x”，应如何解答？


[解] 由2cs x－1≥0得cs x≥eq \f(1,2)，画出y＝cs x的图象和直线y＝eq \f(1,2).





观察图象可知cs x≥eq \f(1,2)的解集是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).


2．本例(1)中函数改为y＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))＋eq \r(\r(3)－2sin x)，应如何解答？


[解]要使原函数解析式有意义，


必须满足eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2).


首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，





作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；


作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).


观察图象可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)＜x≤eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)时，不等式eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)成立，


所以eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集为


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ))))


或eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ≤x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).





1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cs x＞a)的方法


(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cs x)的图象．


(2)确定sin x＝a(或cs x＝a)的x值．


(3)确定sin x＞a(或cs x＞a)的解集．


2．利用三角函数线解sin x＞a(或cs x＞a)的方法


(1)找出使sin x＝a(或cs x＝a)的两个x值的终边所在的位置．


(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．











1．掌握1种画法——五点法


(1)作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图．


(2)“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图．


2．掌握1种思想——数形结合


由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题．结合图象就可以写出其规律．


3．规避1个易错


利用“五点法”作图时，注意五点的正确选取．





1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )





B [y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称．]


2．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


B [观察图象(略)易知：有两个交点．]


3．要得到y＝cs x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cs x，x∈[0,2π]的图象向 平移 个单位长度．


左 2π [向左平移2π个单位长度即可．]


4．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＜0，,\f(π,2)≤x≤5))的解集是 ．


(π，5] [当eq \f(π,2)≤x≤π时，0≤sin x≤1，当π＜x≤5时，sin x＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．]


5．用“五点法”画出y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的简图．


[解] 列表：


描点、连线得出函数y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的图象：





学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)


2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)


3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)
1. 通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．


2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养.
x
0
eq \f(π,2)
①
eq \f(3π,2)
2π
－sin x
②
－1
0
③
0
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
对称中心
对称轴
y＝sin x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
y＝cs x(x∈R)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
用“五点法”作三角函数的图象
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
－1＋cs x
0
－1
－2
－1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x


(或cs x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1


(或0)
0(或1)
y
b


(或A＋b)
A＋b


(或b)
b


(或－A＋b)
－A＋b


(或b)
b


(或A＋b)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
正弦(余弦)函数图象的应用
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－2cs x
－2
0
2
0
－2
－2cs x＋3
1
3
5
3
1