高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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5.4.3 正切函数的性质与图象








学习了y＝sin x，y＝cs x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cs x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．


问题：类比y＝sin x，y＝cs x的图象与性质．


(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？


(2)正切函数的图象是连续的吗？


提示：(1)y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大、最小值．


(2)正切函数的图象在定义域内不是连续的．





正切函数的图象与性质





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )


(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( )


(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±eq \f(π,2)，k∈Z.


( )


(4)正切函数是增函数．( )


[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×


2．在下列函数中同时满足：①在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )


A．y＝tan x B．y＝cs x


C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝－tan x


C [A，D的周期为π，B中函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上递减，故选C.]


3．函数y＝tan 3x的定义域为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(k,3)π＋\f(π,6)，k∈Z)))) [因为3x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq \f(k,3)π＋eq \f(π,6)，k∈Z.]


4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调增区间是 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z [令kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,5)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(3π,10)＜x＜kπ＋eq \f(7π,10)，k∈Z


即函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,5)))的单调增区间是


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z.]








【例1】 (1)函数y＝eq \f(1,tan x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是( )


A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)


C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)


(2)函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为 ．


(3)函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域为 ．


[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．


(1)B (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z))))


(3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))) [(1)当－eq \f(π,4)＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴eq \f(1,tan x)＜－1；


当0＜x＜eq \f(π,4)时，0＜tan x＜1，∴eq \f(1,tan x)＞1.


即当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，函数y＝eq \f(1,tan x)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．


(2)要使函数有意义应满足eq \f(π,6)－eq \f(x,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠－4kπ－eq \f(4π,3)，k∈Z，


所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z)))).


(3)要使函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)有意义，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1.


在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).


又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).]





1．求正切函数定义域的方法


(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.


(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.


2．解形如tan x＞a的不等式的步骤





提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．





eq \([跟进训练])


1．函数y＝lgeq \f(1,2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


B [由题意taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＞0，


即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＜0，


∴kπ－eq \f(π,2)＜x－eq \f(π,4)＜kπ，


∴kπ－eq \f(π,4)＜x＜kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，故选B.]


2．求函数y＝tan2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋1的定义域和值域．


[解] 由3x＋eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,3)＋eq \f(π,18)(k∈Z)，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,3)＋\f(π,18)k∈Z)))).


设t＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))，


则t∈R，y＝t2＋t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up24(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，


所以原函数的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).





【例2】 (1)(教材P213习题5.4T8改编)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期为 ．


(2)已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为 ．


(3)判断下列函数的奇偶性：


①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x.


[思路点拨] (1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝eq \f(π,|ω|)，也可以用定义法求周期．


(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z求出．


(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．


(1)eq \f(π,2) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z [(1)法一：(定义法)


∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


即taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2).


法二：(公式法)


f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝eq \f(π,2).


(2)由x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.]


(3)①定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，


又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．


②定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，关于原点对称，


y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x＝sin x＋tan x，


又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x


＝－f(x)，所以它是奇函数．





1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：


(1)定义法．


(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).


(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．


2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：


先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．


提醒：y＝tan x，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.





eq \([跟进训练])


3．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝eq \f(tan2 x－tan x,tan x－1)；


(2)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).


[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))


得f(x)的定义域为


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


不关于原点对称，


所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．


(2)函数定义域为


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，


关于原点对称，


又f(－x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,4)))


＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))


＝－f(x)，


所以函数f(x)是奇函数．





[探究问题]


1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？


提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(5,4)π，x1

2．如果让你比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,5)))的大小，你应该怎样做？


提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．


【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为 ．


(2)求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间．


[思路点拨] (1)利用y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．


(2)先将原函数化为y＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，再由－eq \f(π,2)＋kπ＜2x－eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．


(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，


又eq \f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq \f(3π,2)，


所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]


(2)y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


由－eq \f(π,2)＋kπ＜2x－eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得，


－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)＜x＜eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，


所以y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z.





1．将本例(2)中的函数改为“y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))”，结果又如何？


[解] 由kπ－eq \f(π,2)

得2kπ－eq \f(π,2)

∴函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)．


2．将本例(2)中的函数改为“y＝lgtan x”结果又如何？


[解] 因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．


所以函数y＝lgtan x的单调递增区间，


就是函数y＝tan x(tan x＞0)的递增区间，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.





1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法


(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x的范围即可．


(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．


2．运用正切函数单调性比较大小的步骤


(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．


(2)运用单调性比较大小关系．


提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．











掌握2个知识点——正切函数的图象、性质


(1)利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．


(2)正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．








1．函数f(x)＝|tan 2x|是( )


A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数


C．周期为eq \f(π,2)的奇函数 D．周期为eq \f(π,2)的偶函数


D [f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝eq \f(π,2).]


2．若tan x≥1，则( )


A．2kπ－eq \f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)


B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)


C．kπ－eq \f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)


D．kπ＋eq \f(π,4)≤x＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)


D [因为tan x≥1＝taneq \f(π,4).


所以eq \f(π,4)＋kπ≤x＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.]


3．比较大小：tan eq \f(13π,4) tan eq \f(17π,5).


< [因为tan eq \f(13π,4)＝tan eq \f(π,4)，tan eq \f(17π,5)＝tan eq \f(2π,5)，又0

所以tan eq \f(π,4)

4．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为 ．


(－eq \r(3)，1) [y＝tan(π－x)＝－tan x，


在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，


所以值域为(－eq \r(3)，1)．]


5．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．


[解] ①由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))).


②T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，


∴函数的最小正周期为2π.


③由kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq \f(π,3)＜x＜2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，


∴函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))， k∈Z.


④由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，


∴函数图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能画出正切函数的图象．(重点)


2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)


3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
1. 借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．


2. 通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称


中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数
有关正切函数的定义域、值域问题
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
正切函数单调性的应用
性质
正切函数
正弦函数、余弦函数
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
R
值域
R
[－1,1]
最值
无
最大值为1
最小值为－1
单调性
仅有单调递增区间，不存在单调递减区间
单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性
T＝π
T＝2π
对称性
有无数个对称中心，不存在对称轴
对称中心和对称轴均有无数个