数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换导学案

这是一份数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换导学案，共15页。

5.5.2 简单的三角恒等变换











同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符．





问题：(1)任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？


(2)半角公式是如何推导出来的？


提示：(1)eq \f(α,2)是α的半角，α是2α的半角．


(2)半角公式的推导是利用公式cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.





半角公式


(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，


(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，


(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，


(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，


taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2)).( )


(2)存在α∈R，使得cs eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)cs α.( )


(3)对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α都不成立．( )


(4)若α是第一象限角，则tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α)).( )


[提示] (1)×.只有当－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(α,2)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2)).


(2)√.当cs α＝－eq \r(3)＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．


(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．


(4)√.若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第一、三象限角，此时tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))成立．


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√


2．已知180°＜α＜360°，则cseq \f(α,2)的值等于( )


A．－eq \r(\f(1－cs α,2)) B．eq \r(\f(1－cs α,2))


C．－eq \r(\f(1＋cs α,2)) D．eq \r(\f(1＋cs α,2))


C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜eq \f(α,2)＜180°，


又cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)，∴cs α＝－eq \r(\f(1＋cs α,2)).]


3．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )


A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)


C.eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5)


A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).]


4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于 ．


－3 [由sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0得cs θ＝－eq \f(4,5)，


∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(sin\f(θ,2),cs\f(θ,2))＝eq \f(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2))＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)


＝eq \f(－\f(3,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))))


＝－3.]





【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )


A.eq \f(\r(1＋a),2) B．eq \f(\r(1－a),2)


C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))


(2)已知π<α

eq \f(1＋sin α,\r(1＋cs α)－\r(1－cs α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α)).


[思路点拨] (1)先确定eq \f(θ,4)的范围，再由sin2eq \f(θ,4)＝eq \f(1－cs\f(θ,2),2)得算式求值．


(2)1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，去根号，确定eq \f(α,2)的范围，化简．


(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).


又cseq \f(θ,2)＝a，


∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).]


(2)[解] 原式＝


eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).


∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，


∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2),－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))eq \s\up12(2),\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))


＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).





1．化简问题中的“三变”


(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．


(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．


(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．


2．利用半角公式求值的思路


(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．


(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．


(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)计算．


(4)下结论：结合(2)求值．


提醒：已知cs α的值可求eq \f(α,2)的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．





eq \([跟进训练])


1．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).


[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°

∴tan eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))＝－2.


法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，


∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，


∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2.


【例2】 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.


[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；


法二：cs2α不变，直接用二倍角正切公式变形．


[证明] 法一：用正弦、余弦公式．


左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))


＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))


＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))


＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α


＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，


∴原式成立．


法二：用正切公式．


左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，


∴原式成立．





三角恒等式证明的常用方法


(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；


(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；


(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；


(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；


(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．





eq \([跟进训练])


2．求证：


eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).


[证明] 左边＝


eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))


＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))


＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))


＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．


所以原等式成立.


【例3】 已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.


(1)求f(x)的最小正周期．


(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).


[思路点拨] eq \x(化为fx＝Asinωx＋φ＋b)→eq \x(由T＝\f(2π,|ω|)求周期)→→eq \x(求最小值证明不等式)


[解](1)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x＝eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(3,2)sin 2x－sin 2x＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)证明：令t＝2x＋eq \f(π,3)，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，


所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，


因为y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减，


所以f(x)≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，得证．





三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acsωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.





eq \([跟进训练])


3．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．


(1)求函数f(x)的最小正周期；


(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．


[解] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))


＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))


＝2eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1


＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)当f(x)取得最大值时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，


有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，


∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).


[探究问题]


1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？


提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．


2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？


提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．


【例4】 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？





[思路点拨] eq \x(设∠AOB＝α)→eq \x(建立周长lα)→eq \x(求l的最大值)


[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，∴l＝OA＋AB＋OB


＝R＋Rsin α＋Rcs α


＝R(sin α＋cs α)＋R


＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.


∵0<α




∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，


即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．





1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．


[解] 如图所示，设∠AOB＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，则AB＝Rsin α，OA＝Rcs α.








设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，


∴S＝2Rcs α·Rsin α＝R2·2sin αcs α＝R2sin 2α.


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)．


因此，当2α＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)时，Smax＝R2.


这时点A，D到点O的距离为eq \f(\r(2),2)R，


矩形ABCD的面积最大值为R2.


2．若例4中的木料改为圆心角为eq \f(π,3)的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．





[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，


设∠MOE＝α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，在


Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcs α，





在Rt△ONH中，eq \f(NH,ON)＝taneq \f(π,6)，


得ON＝eq \r(3)NH＝eq \r(3)Rsin α，


则MN＝OM－ON


＝R(cs α－eq \r(3)sin α)，


设矩形EFGH的面积为S，


则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cs α－eq \r(3)sin α)


＝R2(sin 2α＋eq \r(3)cs 2α－eq \r(3))


＝2R2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－eq \r(3)R2，


由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，则eq \f(π,3)＜2α＋eq \f(π,3)＜eq \f(2π,3)，


所以当2α＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，


即α＝eq \f(π,12)时，Smax＝(2－eq \r(3))R2.





应用三角函数解实际问题的方法及注意事项


(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．


(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．


提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．











1．掌握2组公式


(1)半角公式；(2)辅助角公式．


2．关注3个易误点


(1)半角公式符号的判断．


(2)实际问题中的定义域．


(3)研究形如f(x)＝asin x＋bcs x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,4)))；


sin x±eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,3)))等．





1．若sin(π－α)＝－eq \f(\r(5),3)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))等于( )


A．－eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),6)


C.eq \f(\r(6),6) D．eq \f(\r(6),3)


B [由题意知sin α＝－eq \f(\r(5),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，


所以cs α＝－eq \f(2,3).


因为eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(α,2)))＝cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(6),6).


故选B.]


2．若f(x)＝cs x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)


C.eq \f(3π,4) D．π


C [f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).


当x∈[0，a]时，x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，a＋\f(π,4)))，所以结合题意可知，a＋eq \f(π,4)≤π，即a≤eq \f(3π,4)，故所求a的最大值是eq \f(3π,4).故选C.]


3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为 ．


π [因为f(x)＝sin2x＝eq \f(1－cs 2x,2)，


所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.]


4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9)，则taneq \f(β,2)＝ ，sin α＝ .


eq \r(2) eq \f(1,3) [因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(1,3)，则sin β＝eq \f(2\r(2),3)，


taneq \f(β,2)＝eq \f(sin β,1＋cs β)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2).


因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


故α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，


从而cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))2)＝－eq \f(4\r(2),9)，


所以sin α＝sin[(α＋β)－β]


＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β


＝eq \f(7,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(2),9)))×eq \f(2\r(2),3)


＝eq \f(1,3).]


5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.





[解] 由题意，5cs θ－5sin θ＝1，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，


所以cs θ－sin θ＝eq \f(1,5).


由(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，


所以cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，


所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ


＝(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ)


＝eq \f(7,25).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)


2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)
1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.


2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.
化简求值问题
三角恒等式的证明
恒等变换与三角函数图象性质的综合
三角函数在实际问题中的应用