新人教A版必修第一册学案：模块综合提升（含解析）

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全册综合学案，共6页。







1．A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(√)


2．若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)


提示：当A为空集时，集合B，C为任意集合．


3．若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)


4．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(×)


提示：最多有1个交点．


5．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．


(×)


提示：函数y＝2x＋1与函数y＝5x＋2的定义域与值域相同，但这两个函数不是相等函数．


6．函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)


提示：单调区间不能取并集．


7．所有的单调函数都有最值．(×)


提示：单调函数在闭区间上有最值．


8．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．


(√)


9．如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)


10．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．


(√)


11．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)


12．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).


(×)


提示：当二次函数的对称轴在[a，b]内，取得最值eq \f(4ac－b2,4a)；当二次函数的对称轴不在[a，b]内，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝a，x＝b时取得最值．


13．在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小(√)


14．对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．


(×)


提示：当a＞1时，对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．


15．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点．(×)


提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．


16．若f(x)在(a，b)上有零点，一定有f(a)·f(b)＜0.(×)


提示：f(x)在(a，b)上有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0，需要看零点是否为变号零点．


17．函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．


(×)


提示：当x＝2时2x＝x2.


18．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度．(√)


19．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)


提示：一个不等式的两边同加上或同乘以同一个正数，不等号方向不变．


20．x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充分不必要条件．(√)


21．终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2kπk＋π(k∈Z)．


(√)


22．诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．


(√)


23．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))是奇函数．(×)


提示：函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))是偶函数．


24．函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)(×)


提示：函数y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


25．将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)


提示：函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度是指x的变化量，不是ωx的变化量．


26．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．(√)


27．函数y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).(√)


28．存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．


(√)


29．公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)


提示：α，β应使tan α、tan β、tan(α＋β)有意义．


30．公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)


提示：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x))＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中cs φ＝\f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝\f(b,\r(a2＋b2))))





1．高考对集合的考查主要表现在考查集合的基础知识(集合的关系与运算)，5分．


2．常用逻辑用语是高考考查的热点，每年必考，往往以学科内相关知识作为载体考查充分必要条件和含有一个量词的命题的否定，以客观题形式呈现，5分．


3．一元二次不等式则以工具形态渗透到函数等相关内容中；基本不等式以工具形态渗透到解三角形的最值或者解析几何中的最值研究中，一般不单独考查．


4．函数的奇偶性、单调性的考查常以指数函数、对数函数、幂函数为载体，考题以选择题、填空题为主，5分．函数零点也时有考查，有一定的难度．


5．高考对三角函数的考查主要体现在考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换等基本知识和基本方法．考查的热点内容有三角函数的图象(特别是图象变换问题)、三角函数的性质(特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质)、三角函数式的求值问题等．高考中主要以选择题或填空题的形式呈现，偶尔会出现在解答题中．其中选择题或填空题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数式的求值问题；而解答题则与《必修第二册》的解三角形问题交汇在一起综合考查，位于解答题第一题的位置，难度中等，一般不单独考查，只是作为工具出现．


1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )


A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}


C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}


C [法一：∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.


法二：由题可得N＝{x|－2＜x＜3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D.故选C.]


2．已知a＝lg2 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )


A．a＜b＜c B．a＜c＜b


C．c＜a＜b D．b＜c＜a


B [∵a＝lg20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a

3．设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的( )


A．充分而不必要条件


B．必要而不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


B [本题考查不等式的解法、必要而不充分条件的判断．由|x－1|＜1得0＜x＜2，故0＜x＜5推不出0＜x＜2,0＜x＜2能推出0＜x＜5.故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件．故选B.]


4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )


A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)


C.eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)


B [由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)，所以2sin αeq \r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sin α＝eq \f(\r(5),5)，故选B.]


5．下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是( )


A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|


C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|


A [A中，函数f(x)＝|cs 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cs|x|＝cs x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x＜0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.]


6．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )





C [根据函数f(x)为偶函数可知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))＝f(－lg34)＝f(lg34)，因为0＜2eq \s\up12(－eq \f(3,2))＜2eq \s\up12(－eq \f(2,3))＜20＜lg34，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2eq \s\up12(－eq \f(3,2)))＞f(2eq \s\up12(－eq \f(2,3)))＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4))).]


7．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，则m的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(8,3)))


B [当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)＝eq \f(1,2)f(x＋1)＝eq \f(1,2)(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(…,\f(1,2)x＋1x，－1＜x≤0，,xx－1，0＜x≤1，,2x－1x－2，1＜x≤2，,22x－2x－3，2＜x≤3，,…))由此作出函数f(x)的图


象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－eq \f(8,9)，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝eq \f(7,3)或x＝eq \f(8,3)，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－eq \f(8,9)，必有m≤eq \f(7,3)，即实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))，故选B.]





8．设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则eq \f(x＋12y＋1,\r(xy))的最小值为 ．


4eq \r(3) [eq \f(x＋12y＋1,\r(xy))＝eq \f(2xy＋x＋2y＋1,\r(xy))＝eq \f(2xy＋6,\r(xy))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(xy)＋\f(3,\r(xy))))≥2×2eq \r(\r(xy)·\f(3,\r(xy)))＝4eq \r(3)，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝eq \f(3,2)时等号成立．故所求的最小值为4eq \r(3).]