人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定优秀教学设计

这是一份人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定优秀教学设计，共21页。教案主要包含了知识导图等内容，欢迎下载使用。

全等三角形的判定2















































概 述











【知识导图】














教学过程








一、导入











1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？





(1) (2)


[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH。]


2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？


[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．


3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．





二、知识讲解








考点1全等三角形的判定ASA








问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？


动手操作，感知问题的规律，画图如下：











探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．





考点2全等三角形的判定AAS








在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？





运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD，并且归纳如下：


归纳规律：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．





考点3斜边，直角边定理（HL）








斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．


应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用





考点4判定三角形全等的基本思路：














……























三 、例题精析











例题1





如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．





【答案】证明：在△ACD与△ABE中，





∴△ACD≌△ABE（ASA）


∴AD=AE





例题2


【解析】本题利用全等三角形“角边角”的判定证明两个三角形全等，当证明完毕三角形全等之后就可以得到两个三角形其余的对应量相等。





如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？





【答案】解：a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；


b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；


而c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“C”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．


【解析】此题是对全等三角形的判定方法在实际生活中的考查，通过实际情况来考查学生对常用的判定方法的掌握情况．





例题3








小颖在作业本上画的△ABC被墨迹污染（如图），请你帮助小颖用尺规作一个与原来完全一样的△A'B'C'．要求：保留作图痕迹，不写作法，说明你的理由．





【答案】解：作图：理由：





△A′B′C′≌△ABC．


【解析】此题考查全等三角形判定的应用及作图能力，难度不大





例题4








已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．判断∠B和∠B′的关系．





【答案】解：∠B＝∠B′．理由如下：


∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，


∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．


在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，


∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．


∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）


【解析】先证Rt△ADB≌Rt△A′D′B′，根据条件AB＝A′B′，AD＝A′D′，用HL证明





例题5








如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC





【答案】证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中AC=BD，CD=CD.


∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）


∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）


【解析】HL（斜边、直角边）


即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等





四 、课堂运用








基础











已知如图：AB//CD,AD//BC 求证：AB=CD


（第1题图）

















已知如图：AB//DE,BC//EF,AF=DC, 求证：∠B=∠E


（第2题图）

















3、已知：点 A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN．（第3题图）


求证： AM=CN ，MB=ND。














4、如图，AB∥DE，BF=EC，A=D。求证：AC=DF。





_











_


B


_


F


_


D


_


E


_


C


_


A


（第4题图）




















5、如图已知：ABAC，DC=EB，AD=AE，求证AB=AC





（第5题图）























答案与解析


略








巩固











如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．





2、如图，已知△≌△是对应角．


（1）写出相等的线段与相等的角；


（2）若EF=2.1 cm，FH=1.1 cm，HM=3.3 cm，求MN和HG的长度.








3、 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．


求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．








答案与解析


1、分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B.因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角性质可得∠DGB=∠DFB -∠D，即可得∠DGB的度数．


解：∵ △ABC≌△ADE，


∴ ∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=．


∴ ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，


∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．


2、分析：（1）根据△≌△是对应角可得到两个三角形中对应相等的三条边和三个角；（2）根据（1）中的相等关系即可得的长度．


解：（1）因为△≌△是对应角，


所以.


因为GH是公共线段，所以.


（2）因为2.1 cm，


所以=2.1 cm.


因为3.3 cm，


所以.


3、分析：（1）要证OA=OB，由等角对等边知需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证得．（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可证得∠OCD=∠ODC，又因为∠AOB=∠COD，所以可证得∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．


证明：（1）因为 △ABC≌△BAD，所以 ∠CAB=∠DBA，所以 OA=OB．


（2）因为 △ABC≌△BAD，所以 AC=BD.


又因为 OA=OB，所以 AC-OA=BD-OB，


即OC=OD,所以 ∠OCD=∠ODC.


因为 ∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，


所以 ∠CAB=∠ACD，所以 AB∥CD．








拔高








1.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．








2如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：


（1）BD=DE+CE；





（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？











答案与解析


1【答案】∠DFB=90°，∠DGB=65°.


【解析】解：∵△ABC≌△ADE，


∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）= (120°−10°)＝55°．


∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°


∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．


2【答案】(1)见解析(2)△ABD满足∠ADB=90°.


【解析】（1）解：∵△BAD≌△ACE，


∴BD=AE，AD=CE，


∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，


即BD=DE+CE．


（2）解：△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，


理由是：∵△BAD≌△ACE，


∴∠E=∠ADB=90°（添加的条件是∠ADB=90°），


∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，


∴BD∥CE．


3、【解析】解：求△DBE的周长，即求DE+EB+BD的值．


∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，


∴DC=DE．


可证△ACD≌△AED．∴AC=AE．


又∵AC=BC，


∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．


又∵AB=10cm，


∴△DBE的周长=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周长是10cm．


五、课堂小结








本节课主要讲授的是全等三角形的证明，用AAS及ASA的判定方法证明三角形全等。


熟练掌握三角形全等的证明方法，并进行应用，从得到其他的条件。


六、课后作业








基础








1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．


求证：△BEC≌△CDA．








2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．














3.如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（ ）





答案与解析


1【答案】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，


在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，


在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA．


【解析】本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．


2【答案】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，


∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，


而∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠CAD．


在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．


∴AD=CE，DC=EB．又∵DE=DC+CE，∴DE=EB+AD．


【解析】先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE．





巩固





1.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为（ ）





2.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．


求证：∠B+∠ADC=180°．

















3.AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO=AC，


BC=7，CD=2，则AO的长为（ ）











答案与解析


1.【答案】A．∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．


∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．


在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），


∴BE=DC．CE=AD=2.5．∵DC=CE﹣DE，DE=1.7cm，∴DC=2.5﹣1.7=0.8．


【解析】先得出∠E=∠ADC=90°，再由△CEB≌△ADC得出BE=DC，就可以求出BE的值．


2略


3.5





提高








1.OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度数．

















2.如图，在△ABC中，点Q、P分别是边AC、BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，则下列结论：①AP平分∠BAC；②QP∥AB；③AS=AR；④△BPR≌△QSP，其中正确的有（ ）





3.已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．


（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；


（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；


（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．










































































答案与解析


1【答案】∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOP=∠EOP，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠DOP=∠EOP，在△ODP和△OPE中，，∴△ODP≌△OPE（AAS）


∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=∠PEN=90°．∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE=360°，∠AOB=68°，


∴∠DPE=112°．在Rt△PDM和Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），


∴∠DPM=∠EPN．∴∠DPM+MPE=∠EPN+∠MPE，∴∠DPE=∠EPN=112°．


【解析】根据四边形的内角和可得出∠DPE的值，证明△PDM≌△PEN得出∠DPM=∠EPN．





2【答案】A．∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，


即AP平分∠BAC，①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，∴QP∥AB，②正确；在△APR与△APS中，，∴△APR≌△APS（HL），


∴AR=AS，③正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他不容易得到，所以，不一定全等．④错误．综上所述，①②③正确．


【解析】准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键





3【答案】（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由题意知，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），


∴∠ABC=∠ACB，从而AB=AC；


（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，


由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，


∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，


又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；


（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如示例图）





【解析】关键是通过辅助线来构建全等三角形．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．





七、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
全等三角形的判定
教学目标
理解“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等的方法．


经历探索“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．


培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．
教学重点
应用“角边角”、“角角边”、“斜边直角边”判定三角形全等
教学难点
学会综合法解决几何推理问题．
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B：


画A′B′=AB；


在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于点C′。

A．
∠1=∠EFD
B．
FD∥BC
C．
BF=DF=CD
D．
BE=EC

A．
0.8
B．
1
C．
1.5
D．
4.2

A．
①②③
B．
②③④
C．
①②④
D．
①③④